§4. Силы в механике

87

4.13. Планета Нептун в к = 30 раз дальше от Солнца, чем

Земля. Определить период Т обращения (в годах) Нептуна вокруг

Солнца.

4.14. Луна движется вокруг Земли со скоростью v\ = 1,02 км/с.

Среднее расстояние I Луны от Земли равно 60,31? (R — радиус

Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью V2 должен

двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на

незначительной высоте над ее поверхностью.

4.15. Зная среднюю скорость v\ движения Земли вокруг Солнца

(30 км/с), определить, с какой средней скоростью V2 движется ма-

лая планета, радиус орбиты которой в п = 4 раза больше радиуса

орбиты Земли.

4.16. Космическая ракета, ставшая искусственной планетой,

обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние

»"min ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние rmax

равно 1,31 а.е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Опреде¬

лить период Т вращения (в годах) искусственной планеты.

4.17. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите,

почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного

устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на

Солнце (рис. 4.6). Определить время t, в течение которого будет

падать ракета.

Рис. 4.6

Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по эллипсу, большая ось которого очень мало отличается от радиуса орбиты Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период обращения по эллипсу не зависит от эксцентриситета.

Рис. 4.7

4.18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь

вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее рас¬

стояние г планеты Марс от Солнца равно 1,5 а.е. В течение какого

времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

4.19. Искусственный спутник движется вокруг Земли по элли¬

псу с эксцентриситетом е = 0,5. Во сколько раз линейная ско-

рость спутника в перигее (ближдйшая к центру Земли точка ор-биты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)?

Указание. Применить закон сохранения момента импульса.

4.20. Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентри¬

ситетом е = 0,6. Во сколько раз линейная скорость кометы в

ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее уда¬

ленной?

4.21. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии г =

= 9,4-106 м от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью

v = 2,1 км/с. Определить массу М Марса.

4.22. Определить массу М Земли по среднему расстоянию г

от пентра Луны до центра Земли и периоду Т обращения Луны

вокруг Земли (Гиг считать известными).

4.23. Один из спутников планеты Сатурн находится приблизи¬

тельно на таком же расстоянии г от планеты, как Луна от Земли,

но период Т его обращения вокруг планеты почти в п = 10 раз

меньше, чем у Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли.

4.24. Найти зависимость ускорения свободного падения д от

расстояния г, отсчитанного от центра планеты, плотность р кото¬

рой можно считать для всех точек одинаковой. Построить график

зависимости д(г). Радиус R планеты считать известным.

4.25. Тело массой m = 1 кг находится на поверхности Земли.

Определить изменение Атд силы тяжести для двух случаев:

1) при подъеме тела на высоту h = 5 км; 2) при опускании тела в

шахту на глубину h = 5 км. Землю считать однородным шаром

радиусом R = 6,37 • 106 м и плотностью р = 5,5 г/см3.

4.26. Определить работу А, которую совершат силы гравита¬

ционного поля Земли, если тело массой т — 1 кг упадет на по¬

верхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из

бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения

д на ее поверхности считать известными.

4.27. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется

ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v

ракеты равна первой космической скорости?

4.28. Определить значения потенциала (р гравитационного поля

на поверхностях Земли и Солнца.

4.29. Вычислить значения первой (круговой) и второй (пара¬

болической) космических скоростей вблизи поверхности Луны.

4.30. Найти первую и вторую космические скорости вблизи по¬

верхности Солнца.

4.31. Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность

р вещества планеты равна Зг/см3. Определить параболическую

скорость V2 у поверхности этой планеты.

88

Гл. 1. Физические основы механики