§ 4. Силы в механике

85

Относительное удлинение стержня

е = у = 2,46 • 1(П4.

3. Потенциальная энергия растянутого стержня П = (ea/2)V, где V — объем тела, равный SI. Поэтому

n-f*.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

П = 12,1 Дж.

Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вер-тикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой т = 20 г, если пружина жесткостью к = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на а; = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля-Земля (вместе с пистолетом) является за-мкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи межно приме-нить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, пол¬ная механическая энергия Е\ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е^ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту Ь), т. е.

(6)

или

где 7\ и Т2 — кинетические энергии системы в начальном и конечном состояниях; Щ и Пг — потенциальные энергии в тех же состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состоя¬ниях равны нулю, то равенство (6) примет вид

(7)

III = П2.

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее поверх-ность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. Щ — кх2/2, а в конечном состоянии — потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. Пг = mgh.

Подставив приведенные выражения IIi и Пг в формулу (7), найдем

кх2

кх2

Произведя вычисления по последней формуле, получим

/I = 5M.

ЗАДАЧИ Силы тяготения. Гравитационное поле

4.1. Центры масс двух одинаковых однородных шаров нахо¬

дятся на расстоянии г=1м друг от друга. Масса т каждого шара

равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия

шаров.

4.2. Как велика сила F взаимного притяжения двух космиче¬

ских кораблей массой т — Ют каждый, если они сблизятся до

расстояния г = 100 м?

4.3. Определить силу F взаимного притяжения двух соприка¬

сающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый.

4.4. На какой высоте h над поверхностью Земли напряжен¬

ность дь гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли

считать известным.

4.5. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту

h = 3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за

первую секунду своего падения?

4.6. Радиус R планеты Марс равен 3,4 • 106 м, ее масса М =

= 6,4-1023 кг. Определить напряженность д гравитационного поля

на поверхности Марса.

4.7. Радиус Земли в п = 3,66 раза больше радиуса Луны; сред-

няя плотность Земли в Яг = 1,66 раза больше средней плотности

Луны. Определить ускорение свободного падения дп на поверхно¬

сти Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного паде¬

ния д считать известным.

4.8. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность

р = Зг/см3. Определить ускорение свободного падения д на по¬

верхности планеты.

4.9. Масса Земли в п = 81,6 раза больше массы Луны. Рас¬

стояние I между центрами масс Земли и Луны равно 60,3i? (R —

радиус Земли). На каком расстоянии г (в единицах R) от цен¬

тра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность

гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

4.10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по ок¬

ружности на высоте h = 3,6-106 м. Определить линейную скорость

v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения д на

поверхности Земли считать известными.

4.11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен

2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h

над поверхностью Земли движется спутник.

4.12. Стационарный искусственный спутник движется по окруж¬

ности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над од-

ним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую

скорость и; спутника и радиус R его орбиты.

86

Гл. 1. Физические основы механики