§ 4. Силы в механике

.81

откуда после сокращения на т найдем

[GM

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

Заметив, что GM/R2 = д (д — ускорение свободного падения у поверх¬ности Земли), перепишем эту формулу в виде

vi = s/g~R,

что совпадает с выражением для первой космической скорости (см. при¬мер 1). Подставив числовые значения величин и произведя вычисления, получим

vi = 7,9 • 102 м/с.

Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гра¬витационного взаимодействия Земли и тела массой т, находящегося на

расстоянии г от центра Земли за пределами ее поверхности. Построить график П(г).

Решение. Потенциальная энергия в

поле консервативных сил (гравитационные

силы консервативны) связана с силой сле-

У дующим соотношением:

кь

О

I *

Рис. 4.3

где i, j, k — единичные векторы осей ко-

, ч an an an

ординат (орты); ——, ——, — частные

ох оу oz

производные потенциальной энергии по соответствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией, это выра-жение упрощается. Если ось а; совместить с радиусом-вектором г, на-

ап ап

правленным по радиусу сферы, то ^— и -^— обращаются в нуль и тогда

ятт

F = — i ——. Так как векторы г и i совпадают (рис. 4.3) и П зависит только от г, то

(2)

dr r Запишем в векторной форме закон всемирного тяготения:

где С — постоянная интегрирования.

Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия мо¬жет быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной по-стоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом случае запишем

Соответствующая зависимость П(г) изображается графиком, пред-ставленным на рис. 4.4.

.2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверх-ности Земли, то П(г) = -G-— + С = 0, С = G—^- и тогда

П(Л) = Если h «С R, то ЩК) = '

Но так как г = R + h, где h — высота тела над поверхностью Земли, то

,тпМ тпМ 'ПС-

тМ

h.

R + h {R + h)R

Gmm

Рис. 4.5

Рис. 4.4

М г, или, так как д = G—j, U(h) = mgh.

где G — гравитационная постоянная; М — масса Земли.

Сравнивая выражения (2) и (3), найдем —— = G—— откуда

dr г2

(3)

Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой m переме¬щается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость V2 тела в точке 2, если в точке 1 его скорость vi = y/gR = 7,9 км/с. Ускорение свободного падения д считать известным.

Решение. Система тело-Земля является замкнутой, в которой дей¬ствует консервативная сила — сила гравитационного взаимодействия.

7 Зак. 237

82

Гл. 1. Физические основы механики

§ 4. Силы в механике

83

Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энер¬гии (инерциальную систему отсчета свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать

Для расстояний r% = 3i? и r2 = 2R, заданных в условиях задачи (см. рис. 4.5), получим два выражения потенциальной энергии:

тМ

= Т2 + П2,

(4)

- Е2, или

где Т\, III и Т2, Пг — соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр масс системы тело-Земля практически совпадает с центром масс Земли (т "С М), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конеч¬ном состояниях равна нулю. Тогда

; П2 = -С

ЗЛ ' 2Л

Подставив эти выражения Щ и Пг в формулу (5), получим

.Mm

mvi

mvi

т,=

2 '

,Л/тп r~2iT

,Мт "2R-

Подставив эти выражения в (4), получим ■•2 ^Мт

mvi

mvi

ш

Заменив GM — gR2 и произведя сокращения, найдем v2 — v\ + + gR/3, откуда v2 - \Jv\ + gR/3.

Так как v\ = gR (по условию задачи), то

м

mgR

Заметив, что G— = д, преобразуем последнее выражение к виду

А12 =

Подставив значения т, д, R в это выражение и произведя вычисления, найдем

Ai2 = \ ■ 10 • 9,81 • 6,37 • 106 кг • м/с2 • м = 1,04 • 108 Дж = 104 МДж.

Произведя вычисления, г чучим

У2~\1ч' 7>9 W0 = 9Д2 км/с.

О

Пример 5. Вычислить работу Ац сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой тп = 10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Радиус R земли и ускорение д свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными.

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением ДП потенциальной энергии. Так как силы системы — гравитационные — относятся к силам консервативным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т. е.

(5)

А12 = -ДП = III - П2,

где III и Пг — потенциальные энергии системы тело-Земля соответ¬ственно в начальном и конечном ее состояниях.

Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии г потенциальная энергия выразится равен-ством П = — G—-—, где М — масса Земли.

Пример 6. Верхний конец стального стержня длиной I = 5м с площадью поперечного сечения S,= 4 см2 закреплен неподвижно, к ниж¬нему подвешен груз массой т = 2 • 103 кг. Определить: 1) нормальное напряжение а материала стержня; 2) абсолютное а; и относительное е удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня.

Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стер¬жня выражается формулой a = F/S, где F — сила, действующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести тд и поэтому

можем записать

тд

S "

a =

Сделав вычисления, найдем

a = 49 МПа.

2. Абсолютное удлинение выражается формулой

х =

FI

ES*

где Е — модуль Юнга.

Подставив значения величин F, I, S и Е в эту формулу (значение Е взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим

о~3 м=

=1>23

х=И=if=1>23 ■ 1о

7*

84

Гл. 1. Физические основы механики