§ 4. Силы в механике

77

• Напряженность гравитационного поля

_ F

где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массы т, помещенную в некоторую точку поля.

• Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, мас¬

су М которой можно считать распределенной сферически-симметрично,

где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

• Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

9 gh (I + h/R)2'

где R — радиус Земли; д — ускорение свободного падения на поверхно¬сти Земли. Если h <g. R, то

2Л

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух ма-териальных точек массами mi и т2 (шаров с массой, распределенной сферически-симметрично), находящихся на расстоянии г друг от друга,

п = -

(Потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга матери-альных точек принято считать равной нулю.) • Потенциал гравитационного поля

П

где П — потенциальная энергия материальной точки массой т, поме-щенной в данную точку поля.

• Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М

которой можно считать распределенной сферически-симметрично,

М ¥>=-<?-,

где 1 расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля,

находящейся вне планеты.

• Законы Кеплера:

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых на¬

ходится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, в равные времена

описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты.

• Относительная деформация при продольном растяжении или сжа¬тии тела

х

£ = Т>

I i

где е — относительное удлинение (сжатие); х — абсолютное удлинение (рис. 4.1); I — начальная длина тела.

-к Л \ \ \

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы

As

где tg 7 — относительный сдвиг; As — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга (рис. 4.2); h — расстояние между слоями; 7 — угол сдвига. (Для малых углов tg7 = 7 = Ав/Л.) • Напряжение нормальное

-¥

где Fynp — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S — площадь этого сечения. Напряжение тангенциальное

где Fynp — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь этого слоя.

78

Гл. 1. Физические основы механики

§ 4. Силы в механике

79

• Закон Гука для продольного растяжения или сжатия

Fynp = -kx, или a = еЕ,

где к — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е — модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига

Fh As = —, или т = G7,

где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

• Момент, закручивающий на угол <р однородный круглый стержень,

М = С<р,

где С — постоянная кручения.

кх2

• Работа, совершаемая при деформации тела,

А =

• Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня

П = ~, или П=^У, или П=^-У, где V — объем тела.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить вторую космическую скорость УЦ ракеты, запущенной с поверхности Земли.

Примечание. Второй космической (или параболической) скоростью tin называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле тяготения Земли).

Решение. При удалении тела массой m в бесконечность его по-тенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Со-гласно определению второй космической скорости, кинетическая энер¬гия в бесконечности также равна нулю. Таким образом, в бесконечности Too = 0 и Пто = 0. В соответствии с законом сохранения энергии в механике

или

Т + П = Тто + Пс

-<-"■

где М — масса Земли. Отсюда находим УЦ = yj2GM/R. Преобразуем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R: УЦ = = y/(2GM/R2)R.

Так как GM/R2 — д (где д — ускорение свободного падения у по-верхности Земли), то

/

Подставив в эту формулу значения д и R и произведя вычисления, по¬лучим

г>н = 11,2 км/с.

Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости vi, сооб-щенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R — 6,37 • 106 м)? Силами, кроме силы гравита-ционного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Чтобы определить минимальную скорость v\ ракеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию Т\. Для этого вос-пользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон вы-полняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только кон-сервативные силы.

Систему ракета-Земля можно считать замкнутой. Единственная си¬ла, действующая на систему, — сила гравитационного взаимодействия, являющаяся консервативной.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему отсчета, так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в част-ности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассма-триваемом случае пентр масс системы ракета-Земля будет практически совпадать с центром Земли, так как масса М Земли много больше массы m ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать практически инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем

(1)

П1=Г2+П2,

где Ti и III — кинетическая и потенциальная энергия системы ракета-Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Тг и Пг — те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому Т\ есть просто начальная кинетическая энергия ра¬кеты: Т\ = mv2/2. Потенциальная энергия системы в начальном со¬стоянии11) III = —GmM/R. По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетическая — убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная энергия Пг достигнет максимального значения: П2 = -GmM/(2R).

Подставив значения 7\, Щ, Г2 и Пг в выражение (1), получим

1

-

—,

11) Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю.

80

Гл. 1. Физические основы механики