§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела 71

3.39. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением

ip - А + Bt + Ct2, где А = 2рад, В - 32рад/с, С ~ -4рад/с2.

Найти среднюю мощность (N), развиваемую силами, действую¬

щими на маховик при его вращении, до остановки, если его мо¬

мент инерции J = ЮОкг-м2..

3.40. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением

tp = А + Bt + Ct2, где А = 2рад, В = 16рад/с, С = -2рад/с2.

Момент инерции J маховика равен 50кг-м2. Найти законы, по

которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему

равна мощность в момент времени t = 3 с?

3.41. Якорь двигателя вращается с частотой п = 1500 мин"1.

Определить вращающий момент М, если двигатель развивает мощ¬

ность N = 500 Вт.

3.42. Со шкива диаметром d = 0,48 м через ремень передается

мощность N = 9 кВт. Шкив вращается с частотой п = 240 мин"1.

Сила натяжения Т\ ведущей ветви ремня в два раза больше силы

натяжения Тг ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей

ремня.

3.43. Для определения мощности двигателя на его шкив диа¬

метром d = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты при¬

креплен динамометр, к другому подвесили груз. Найти мощность

N двигателя, вращающего с частотой п = 24 с"1. Масса m груза

равна 1кг и показание динамометра F = 24 Н.

3.44. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом

Л = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу ^i нужно

совершить, чтобы сообщить маховику частоту п = 10 с"1? Какую

работу Ai пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск

имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

3.45. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна

1кДж. Под действием постоянного тормозящего момента махо¬

вик начал вращаться равнозамедленно и, сделав ЛГ = 80 оборотов,

остановился. Определить момент М силы торможения.

3.46. Маховик, момент инерции J которого равен 40кг-м2, на¬

чал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием

момента силы М = 20Н-М. Вращение продолжалось в течение

t = 10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную

маховиком.

3.47. Пуля массой m = Юг летит со скоростью v = 800м/с,

вращаясь около продольной оси с частотой п — 3000 с"1. Прини¬

мая пулю за цилиндрик диаметром d = 8 мм, определить полную

кинетическую энергию Т пули.

3.48. Сплошной цилиндр массой m = 4кг катится Сез сколь¬

жения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси

цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию

Т цилиндра.

72

Гл. 1. Физические основы механики

3.49. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу

т = 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v =

= 5 м/с. Найти кинетические энергии Т\ и Тг этих тел.

3.50. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверх¬

ности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Опре¬

делить кинетическую энергию Т\ поступательного и Ti вращатель¬

ного движения шара.

3.51. Определить линейную скорость v центра шара, скатив¬

шегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

3.52. Сколько времени t будет скатываться без скольжения об¬

руч с наклонной плоскости длиной I — 2м и высотой h = 10см?

3.53. Тонкий прямой стержень длиной I — 1м прикреплен к

горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень от¬

клонили на угол ip = 60° от положения равновесия и отпустили.

Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в мо¬

мент прохождения через положение равновесия.

3.54. Однородный тонкий стержень длиной I — 1 м может сво¬

бодно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через

точку О на стержне. Стержень отклонили от положения равнове¬

сия на угол а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую

скорость ш стержня и линейную скорость v точки В на стержне

в момент прохождения им положения равновесия. Вычисления

выполнить для следующих случаев: 1) а = 0, b = 1/2, a — 7г/3;

2) а = //3, Ь = 2Z/3, a = тг/2; 3) а = 1/4, Ъ = I, a = 2тг/3.

3.55. Карандаш длиной I = 15 см, поставленный вертикально,

падает на стол. Какую угловую и) и линейную v скорости будет

иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его

конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец

карандаша не проскальзывает.

3.56. Однородный диск радиусом R = 20 см может свободно

вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плос¬

кости диска и проходящей через точку О (см. рис. 3.14). Опреде-

лить угловую ш и линейную v скорости точки В на диске в момент

прохождения им положения равновесия. Вычисления выполнить

для следующих случаев: 1) а = b = R, a = тг/2; 2) а = R/2,

6 = 0, а = тг/3; 3) а = 2Д/3, Ь = 2Я/3, a = 5тг/6; 4) о = Д/3,

b = R, а = 2тг/3.

3.57*. Атом гелия налетает на покоящуюся молекулу азота со скоростью v = 103 м/с так, как это изображено на рис. 3.19 (mi — масса атома гелия, m-i — масса атома азота). Определить не¬посредственно после столкновения: 1) скорость и\, импульс р\ и изменение Api импульса атома гелия; 2) скорость vc центра масс, импульс f/2, угловую скорость и) вращения и момент импульса Lz молекулы азота относительно оси z, проходящей через ее центр масс (С). Удар между атомами считать упругим. Атомы рассма-