§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

63

Jw этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая

J = J2Ul2,

где J\ и и)\ — момент инерции тела человека и угловая скорость ска¬мьи и человека с вытянутыми руками; J2 и ы2 — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками. Отсюда

Выразив в этом уравнении угловые скорости и>\ и и>2 через частоты вра-щения п\ и П2 (w = 2тт) и сократив на 2тг, получим

(21)

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с угловой ско¬ростью и> и сообщает ему кинетическую энергию

Т=^, (23)

где J — момент инерции стержня отно-сительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол (р, причем центр масс его поднимается на высоту h = (Z/2) х х (1 — cos if). В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерпии тела человека Jo и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J = тг2. Следовательно10),

(I)2'

00'

J2 = Jo + 2m

J\ = Jo + 2m

(24)

Рис. 3.6

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (23) и (24), получим

Mg-(l-costp) = —

где m — масса каждой из гирь; h и Z2 — первоначальное и конечное расстояния между гирями. Подставив выражения J\ и J2 в уравнение (21), получим

Отсюда

COS ifi = 1 —

Jw2 MgV

2m(h/2)2

(22)

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня J =■ — Ml2/3, получим

Выполнив вычисления по формуле (22), найдем

п2 = 1Д8с~1.

Пример 8. Стержень длиной Z = 1,5м и массой М = 10кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m = Юг, летящая в горизонтальном направлении со скоростью г>о = 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол (р отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: по¬сле удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

10) В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) из-меняется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввилу сложности учета этого изменения будем считать момент инерции Jo тела чело¬века постоянным.

(25)

Чтобы из выражения (25) найти ip, необходимо предварительно опре-делить значение ш. В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вра-щения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня и>о = 0, по¬этому его момент импульса Loi = J<*>o = 0. Пуля коснулась стержня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участ¬вуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули Lo2 = mvor, где г — расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость и, а пуля — линейную скорость v, равную линейной скорости точек стержня, находя-щихся на расстоянии г от оси вращения. Так как v = LJT, TO конечный момент импульса пули L2 = mvr = mr2tj.

64

Гл. 1. Физические основы механики

Применив закон сохранения импульса, можем написать Loi + LQ2 = Li + L2, или mvor = Ju> + тг2ш,

откуда

(26)

mvor

J + mr2'

где J = Ml2/3 — момент инерции системы стержень-пуля.

Если учесть, что в (26) mr2 <SC J = М12/3, а также, что г = 1/2, то после несложных преобразований получим

(27)

~ 2MI' Подставив числовые значения величин в (27), найдем

3 • Ю-2 • 500 кг • м/с = 2.10-1,5 ^^Г =

По (25) получим

65