§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

61

2 В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

Определив LJ' ИЗ уравнения (18) и подставив полученное выражение в формулу (19), будем иметь

._ Jwf Jw2 А~~2 Г1

_ (Л + J2)uR Л + J'2 *

(20)

или, учтя, что и>2 = 0,

(16)

Работа при вращательном движении определяется по формуле А = = М(р. Подставив выражения работы и момента инерции диска в фор¬мулу (16), получим

Момент инерции платформы рассчитываем, как для диска; следовательно, J\ = m\R2/2. Момент инерции человека рассчитываем, как для матери-альной точки. Поэтому J2 = О, Л — m2R2. Угловая скорость платформы до перехода человека равна и> = 2тгп.

Заменив в формуле (20) величины J\, J2, J2 и и их выражениями, получим

v =

2-KUR.

miR2/2

mi + 2m2

Mip = —

Сделав подстановку значений m\, m2, n, R и тг, найдем линейную ско-рость человека:

кг • с

■ м

Отсюда момент силы трения

(17)

М = —

Угол поворота if = 2nN = 2-3,14-200 = 1256 рад. Произведя вычисления по формуле (17), получим

кг

= 0,942 м/с.

Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения п\ = 0,5 с"1. Момент инерции Jo тела человека относительно оси вращения равен 1,6кг-м2.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5м и массой mi = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой п = 10 мин"1. В центре платформы стоит человек массой т2 = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

(18)

+ J2)w = (Л + J'2W,

где J\ — момент инерции платформы; J2 — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; и — угловая скорость платформы с чело-веком, стоящим в ее центре; J2 — момент инерции человека, стоящего на краю платформы; и' — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

,0*2

1 J20)2

//////////////////////////////////////////////////////////////////////У///

Рис. 3.5

В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1\ = 1,6 м. Определить частоту вра¬щения п2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние 12 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи прене¬бречь.

Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет вместе со скамьей замкнутую механическую систему 9), поэтому момент импульса

v = ui'R.

(19)

) Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил ре-акции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь.

62

Гл. 1. Физические основы механики