§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

59

Для определения линейного ускорения гири подставим выражение е в формулу (8). Получим а = 2т2(<7 - а)/mi, откуда

Так как Т[ = Ti и Г2' = Т2, то можно заменить силы Т[ и Г2' выра¬жениями по формулам (10) и (11), тогда

2т2

а =

д = 2,80 м/с2.

mi + 2т2

П р и м е р 4. Через блок в виде диска, имеющий массу т = 80 г, пере-кинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами mi = 100 г и т2 = 200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступа¬тельного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх. Так как вектор ускорения а груза mi направлен вверх, то Г] > mig. Равнодействующая этих сил вызывает рав¬ноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна Ti — mig = mia, откуда

m2<7 —

m = —a,

или

. . / m\

(m2 - mi)g = (m2 + mi + —J a,

откуда

(13)

a =

m2 — mi

m2 + mi + m/2

Отношение масс в правой части формулы (13) есть величина безраз-мерная. Поэтому значения масс mi, m2 и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим

7\ =

(10)

+ mi a.

Вектор ускорения а груза т2 направлен вниз; следо-вательно, Г2 < m2g. Запишем формулу второго закона для этого груза: m2g — Т2 = т^а, откуда

Рис. 3.4

Согласно основному закону динамики вращательного дви¬жения, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведе-нию момента инерции J диска на его угловое ускорение е:

(12)

= Je.

mr2 a

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы Т[ и Т2, приложенные к ободу диска, равны соответственно силам Т\ и Тг, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, Т2 > Т[. Вра¬щающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. М = (Т2 — Т[)т. Мо¬мент инерции диска J = mr2/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением е = а/г. Подставив в формулу (12) выражения М, J и е, получим

2 г'

(Г2'-Г1')г =

откуда

0,2

"

Пример 5. Маховик в виде диска массой m = 50кг и радиусом г = 20 см был раскручен до частоты вращения ni = 480 мин"1 и за-тем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t = 50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N = 200 оборотов.

Решение. 1. По второму закону динамики вращательного движе¬ния изменение момента импульса вращающегося тела равно произведе¬нию момента силы, действующего на тело, на время действия этой силы:

MAt = Jw2 — Jw\,

где J — момент инерции маховика; w\ и и>2 — начальная и конечная угловые скорости. Так как ш2 = 0 и Д* = t, то Мt = —Jwi, откуда

(14)

М = -'-

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J = mr2/2. Подставив это выражение в формулу (14), найдем

(15)

М = -

mr2u>i 2*

Выразив угловую скорость wi через частоту вращения ni и произведя вычисления по формуле (15), найдем

4*

60

Гл. 1. Физические основы механики