§ 51. Электрические и магнитные свойства твердых тел 551

это электроны), перемещающиеся под действием приложенной к нему разности потенциалов U, будут отклоняться в поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца, приведет к «накоплению» за-ряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в резуль¬тате этого напряжение UH (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать силу Лоренца. Холловская разность потен¬циалов определяется соотношением

откуда постоянная Холла

(3)

н~ BjV

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от ртах — 0,1ртах до ртах, найдем интегрированием в соот-ветствующих пределах:

Рта

0,271 pL, Зтг2 Л2

Плотность тока j найдем, воспользовавшись законом Ома в диффе-ренциальной форме:

j = jE,

где Е — напряженность поля в образце.

Считая поле в образце однородным, можно написать Е — U/L и тогда

U

Подставив плотность тока в выражение (3), получим

(4)

Учитывая, что максимальный импульс ртах и максимальная энергия е электронов в металле (при Т = 0) связаны соотношением р2пак — 2meF, найдем искомое число AiV свободных электронов в металле:

0,271

0,271

или

1

Подставив значения величин тг, тп, eF, ЙиУи произведя вычисления (5 эВ = 8 • 10~19 Дж), получим

= 2,9 ■ 1023 электронов.

-Пример 2. Образец из германия n-типа в виде пластины дли¬ной L = 10 см и шириной / = 6 мм помещен в однородное магнитное

и

поле (В = 0,1 Тл) перпендикулярно ли¬ниям магнитной индукции. При напря¬жении U = 250 В, приложенном к кон¬цам пластины, возникает холловская раз¬ность потенциалов С/н = 8,8 мВ. Опреде¬лить: 1) постоянную Холла iZH; 2) кон¬центрацию п„ носителей тока. Удельную проводимость 7 германия принять равной 80 См/м.

Решение. 1. При помещении полу¬

проводника в магнитное поле (рис. 51.1)

Рис. 51.1 носители тока (в полупроводнике п-типа

BUjl'

Убедимся в том, что правая часть равенства (4) дает единицу посто-янной Холла (м3/Кл):

[UH][L] 1В-1м _ 1м

[£][[/] [7] [Z] ~ 1 Тл • 1 В • 1 См/м ■ 1 м ~ 1 Тл ■ 1 См

1 А ■ 1 м ■ 1 м -1 В 1Дж-1м2 з

= ПГТА—= 1Н-1Кл =1м/Кл-

Выразим все величины в единицах СИ (U = 8,8 • 10~3 В, L = 0,1 м, В = 0,1 Тл, U = 250 В, 7 = 80 См/м, I - 6 ■ 10~3м) и произведем вычисления:

Д„ = 7,33 • Ю-5 м3/Кл.

2. Концентрацию п носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае n-типа) можно найти из соотношения

Зтг 1

где е — элементарный заряд. Отсюда

Зтг

п =

Произведя вычисления, получим

п = 1023 электронов/м3.

552

Гл. 10. Физика твердого тела

§51. Электрические и магнитные свойства твердых тел 553

Пример 3. Образец из вещества, содержащего эквивалентные ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В —1 Тл). Определить: 1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т = 300 К; 2) частоту v0, при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь.

Решение. 1. В магнитном поле ядра приобретают дополнительную энергию, определяемую соотношением

(5)

Е = -MZB,

где Adz — проекция магнитного момента ядра на направление вектора В (ось Oz). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой

Mz = дццтп,,

где д — ядерный фактор Ланде; /iN — ядерный магнетон; тп, — спиновое магнитное квантовое число ядра.

Подставив это выражение в формулу (5), получим

ядер, чем на верхнем с энергией Е^- Число ядер Ni (заселенность дан¬ного уровня), находящихся на нижнем энергетическом уровне Е\, может быть вычислено по формуле Больцмана:

Е

JV

N

или

Соответственно можно найти и число ядер N2, находящихся на верх¬нем энергетическом уровне:

N

N

или

Так как (l/2)gfiNB <SC kT (это будет показано ниже), то можно восполь-зоваться приближенными равенствами ехр (—х) к 1-х и ехр (х) & 1+х, если а;С1 (см. п. 3 раздела II приложений). Тогда

Спиновое магнитное квантовое число гп, протона может принимать только два значения: гп, = +1/2 и гп, = -1/2. Значение тп, = +1/2 соответствует нижнему энергетическому уровню:

Разность A./V заселенности энергетических уровней найдем, вычи¬тая из первого приближенного равенства второе:

(6)

= -~дц„В.

Значение гп, = —1/2 соответствует верхнему энергетическому уровню (рис. 51.2):

Разделив AN на TV, получим относительную разность заселенностей энергетических уровней:

(8)

AiV

N 2 кТ

Е2-

В отсутствие магнитного поля число ядер с противоположно напра-вленными спинами одинаково и равно N/2 (N — общее число ядер).

7\

тГ+2

Выразим все величины в единицах СИ: g = 5,58 (для протона), iN = 5,05 ■ Ю-27 А • м2, В = 1 Тл, к = 1,38 • Ю"23 Дж/К, Т = 300 К. Подставим эти значения в формулу (8) и произведем вычисления:

6

~ '

AiV 5,58 • 5,05 • 10~27 • 1 А ■ м2 • Тл N ~ 2 ■ 1,38 • Ю-23 • 300 (Дж/К) ■ К

Рис. 51.2

В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. На нижнем уровне с энергией Е\ будет находиться больше

Полученный результа* оправдывает наше допущение, что gfiNB/2 ^ кТ. 2. Под действием электромагнитного излучения, циклическая частота которого

-о = Е^, О)

будут происходить переходы между уровнями энергии Е\ и Е-i, причем электромагнитное излучение вызывает переходы Е\ —» Е% и Е^ —» Е\ с равной вероятностью при условии одинаковой заселенности энергетиче-ских уровней. Так как нижний уровень имеет большую заселенность,

554

Гл. 10. Физика твердого тела

чем верхний, то переходы с поглощением электромагнитного излучения (Ei -> Е2) будут происходить чаще, чем с излучением (Е2 -> Е\). Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловлен¬ное ядерным магнетизмом (ЯМР).

Подставив в (9) выражение для энергий Е\ и Е2 согласно (6) и (7) и заменив циклическую частоту ш0 на частоту v0 (u0 = 2тг1/0), найдем резонансную частоту щ для внешнего магнитного поля В4):

Подставим в это выражение числовые значения физических величин и произведем вычисления:

2 • 3,14 ■ 1,05 • Ю-34 Дж ■ с и0 = 42,7 МГц.

5,58 • 5,05 • Ю-27 • 1 А-м2-Тл т 7

"о = ПО1/ _м — = 4,27 • Ю7 Гц,

или

ЗАДАЧИ

Электроны в металле. Распределение Ферми-Дирака

51.1. Определить концентрацию п свободных электронов в

металле при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми е принять рав-

ной 1 эВ.

51.2. Определить отношение концентраций щ/п2 свободных

электронов при Г = 0 в литии и цезии, если известно, что уров¬

ни Ферми в этих металлах соответственно равны eF x = 4,72 эВ,

еР)2 = 1,53эВ.

51.3. Определить число свободных электронов, которое прихо¬

дится на один атом натрия при температуре Т = ОК. Уровень

Ферми еР для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна

970кг/м3.

51.4. Во сколько раз число свободных электронов, приходя¬

щихся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем

в меди, если уровни Ферми соответственно равны еР i = 11,7 эВ,

70В?

51.5. Определить вблизи уровня Ферми интервал энергий Ае (в эВ) между соседними энергетическими уровнями электронов в

) В реальных образцах магнитное поле В, действующее на ядро, отличается от внешнего постоянного поля Во на величину В\ поля, создаваемого в месте нахождения ядра электронами и ядрами всех молекул образца, в том числе и той, к которой принадлежит данное ядро. В условиях данной задачи полем В\ мы пренебрегаем.