§51. Электрические и магнитные свойства твердых тел 547

и Сг = 3,36 Дж/К. Найти характеристическую температуру Дебая 0D и молярную теплоемкость См хрома при температуре Т = 30 К.

50.78*. Определить изменение AU внутренней энергии кристал¬ла никеля массой тп = 50 г при его охлаждении от температуры Т\ — 45 К до Тг = 30 К. Характеристическая температура Дебая 6D = 450K.

50.79*. Кристалл бериллия массой тп = 20 г помешен в кало-риметр. Определить количество теплоты Q, подведенное к кри-сталлу, если его температура изменилась с Ti = 72 К до Тг = 96 К. Характеристическая температура Дебая 6D = 1440 К.

50.80*. Кристалл бериллия массой тп = 40 г находится в кало¬риметре при температуре Т\ = 140 К. Определить конечную тем¬пературу Тг кристалла, если при его охлаждении было отведено количество теплоты Q = 124 Дж. Характеристическая темпера¬тура Дебая 6D = 1440 К.

50.81*. Кристалл магния дважды нагревают на AT = 10 К. Один раз нагревание происходит от температуры Т\ = 30 К, дру¬гой от температуры Ti = 0D = 400 К. Определить во сколько раз Q2/Q1 количество теплоты, подводимое к кристаллу во втором случае больше, чем в первом.

50.82*. Кристалл серебра массой тп = 10,8 г находится в кало¬риметре при температуре Т\ = 15 К. Через обмотку калориметра в течение времени т — 25 с пропускали ток J = 4мА при напря¬жении U = 6 В. Определить конечную температуру Тг кристалла. Тепловыми потерями пренебречь. Условие Т2 <k. во считать вы¬полненным. Характеристическая температура Дебая 0D = 225 К.

§ 51. Электрические и магнитные свойства твердых тел

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Электроны в металле (по квантовой статистике) Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в ме-

талле:

3/2

exp[(e-£F)/(A;T)]

3/2

de (при е < eF),

27Г* V *2 )

при Т = 0 dn(e)

где dn(e) — концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от е до е + de; тп и Е — масса и энергия электрона; eF — уровень (или энергия) Ферми.

548

Гл. 10. Физика твердого тела

Уровень Ферми в металле при Т = 0

Температура Ткр вырождения

§51. Электрические и магнитные свойства твердых тел 549

где 7 — гиромагнитное отношение (7 = дЦп/Ь) и

£, = Ну/1(1 + 1).

• Проекция магнитного момента ядра на направление вектора маг-нитной индукции внешнего поля

2ТГ/Г2

2

Полупроводники

• Удельная проводимость собственных полупроводников

7 = еп{Ьп + Ьр),

где е — заряд электрона; п — концентрация носителей заряда (электро¬нов и дырок); Ьп иЬр — подвижности электронов и дырок. Напряжение UH на гранях образца при эффекте Холла

UH = RHBjl,

где RH — постоянная Холла; В — индукция магнитного поля; I — ши¬рина пластины; j — плотность тока.

• Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, гер¬

мания и др., обладающих носителями заряда одного вида (п или р),

н~ 8 en' где п — концентрация носителей заряда.

Магнитный резонанс

• Магнитный момент ядра 3)

где т, — спиновое магнитное квантовое число ядра, mt — I, I — 1, 1-2,..., -I.

• Циклическая частота шо переменного магнитного поля, при которой

происходит резонансное поглощение энергии,

Н) = 7Аь

где Во — магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля.

• Отношение заселенностей энергетических уровней (в отсутствие

высокочастотного поля)

Е2 — Ei

где Ni — заселенность энергетического уровня Е\; N2 — заселенность энергетического уровня Е2; Е2 > Е\.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Кусок металла объемом V = 20см3 находится при тем-пературе Т = 0. Определить число A./V свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса ртах не более чем на ОДртах- Энергия Ферми eF = 5 эВ.

Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при Т — 0:

3/2

dn(e)

(1)

J_ (2m\ ~ 2тг2 V h2 )

где g — ядерный фактор Ланде (^-фактор); /iw — ядерный магнетон (fiN = eh/(2mp)); тпр — масса протона; / — спиновое квантовое число ядра (спин ядра).

• Связь магнитного момента ядра с моментом импульса С, ядра

М, = -у£„

3) Магнитным моментом ядра называют также максимальное значение про¬екции магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля, т.е. М = -Мг„„ = gl

Так как dn(e) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от е до е + de (e < eF), то оно должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключенных в интервале значений импульса от р до р + dp, т. е.

(2)

dn(p) = dn(e).

При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии е со-ответствует определенный импульс р (е = р2/(2тп)) и интервалу энергии

de отвечает соответствующий ему интервал импульсов dp I de = — dp).

V mi

550

Гл. 10. Физика твердого тела

Заметив, что е1/2 = р/(2тп)1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(e) выражение (1) с заменой е на р и de на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е.

£dp.

dn(p) = TZ£\T?

2тг2 \h2 ) (2m)1/2 m

После сокращений получим искомое распределение свободных электро-нов в металле по импульсам при Т = 0:

1 о .