§50. Тепловые свойства

545

Эффект Мёссбауэра

50.51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при

испускании фотона движущимся атомом, получить формулу допле-

ровского смещения Аш/ш для нерелятивистского случая.

50.52. Вычислить энергию R, которую приобретает атом вслед¬

ствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой ча¬

сти спектра (А = 500 нм); 2) при рентгеновском излучении (А =

= 0,5нм); 3) при 7-излучении (А = 5 • 10~3 нм). Массу та атома

во всех случаях считать одинаковой и равной ЮОа.е.м.

50.53. Уширение спектральной линии излучения атома обу¬

словлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей.

Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спек¬

тральной линии. Оценить для атома водорода относительные из¬

менения (ДА/А) длины волны излучения, обусловленные каждой

из трех причин. Среднюю скорость (г>) теплового движения атома

принять равной 3 км/с, время т жизни атома в возбужденном

состоянии — 10 нс, энергию е излучения атома — 10 эВ.

50.54. При испускании 7-Ф0т0нэ свободным ядром происхо¬

дит смещение и уширение спектральной линии. Уширение обу¬

словлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей,

а смещение — явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe отно¬

сительные изменения [Av/v) частоты излучения, обусловленные

каждой из трех причин. При расчетах принять среднюю скорость

(г>) ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300 м/с,

время т жизни ядра в возбужденном состоянии — 100 не и энер¬

гию е7 7-излучения равной 15 кэВ.

50.55. Найти энергию АЕ возбуждения свободного покоивше¬

гося ядра массы тя, которую оно приобретает в результате захвата

7-фотона с энергией е.

50.56. Свободное ядро 40К испустило 7-фотон с энергией е7 =

= ЗОкэВ. Определить относительное смещение ДА/А спектраль¬

ной линии, обусловленное отдачей ядра.

50.57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения АЕ = 93кэВ пере¬

шло в основное состояние, испустив 7-фотон. Найти относитель-

ное изменение Де7/е7 энергии 7-фотона, возникающее вследствие

отдачи свободного ядра.

50.58. Энергия связи Есв атома, находящегося в узле кри¬

сталлической решетки, составляет 20 эВ. Масса та атома равна

80а.е.м. Определить минимальную энергию е7 7~Фотона) ПРИ

испускании которого атом вследствие отдачи может быть вырван

из узла решетки.

50.59. Энергия возбуждения АЕ ядра 1911г равна 129 кэВ. При

какой скорости v сближения источника и поглотителя (содержа¬

щих свободные ядра 1911г) можно вследствие эффекта Доплера

скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусло¬вленных отдачей ядер?

50.60. Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Кг.

Энергия возбуждения АЕ ядер равна 9,3 кэВ. Определить скорость

v сближения источника и поглотителя, при которой будет проис-

ходить резонансное поглощение 7-фотона.

50.61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dy. Энергия

возбуждения АЕ ядер равна 26кэВ, период полураспада 7\/2 =

= 28 нс. При какой минимальной скорости vmjn сближения ис¬

точника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение

7-фотона?

50.62. При скорости v сближения источника и поглотителя (со¬

держащих свободные ядра 153Ег), равной 10 мм/с, нарушается

мёссбауэровское поглощение 7-фотона с энергией е7 = 98кэВ.

Оценить по этим данным среднее время т жизни возбужденных

ядер 153Ег.

50.63. Источник 7-фотонов расположен над детектором-погло¬

тителем на расстоянии I = 20 м. С какой скоростью v необхо¬

димо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения

детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии

7-фотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с

Землей?

Тепловое расширение твердых тел

50.64. Найти коэффициент объемного расширения /3 для ани¬

зотропного кристалла, коэффициенты линейного расширения ко¬

торого по трем взаимно перпендикулярным направлениям соста¬

вляют «! = 1,25-Ю-"5:^1; а2 = 1,10-Ю"5 К"1; а3 = 1,5-10~5 К"1.

50.65. Вычислить максимальную силу Fma,x, возвращающую

атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент

гармоничности /? = 50Н/м, а коэффициент ангармоничности

7 = 500ГПа.

50.66. Определить силу F (соответствующую максимальному

смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если

амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего меж-

атомного расстояния при данной температуре. При расчетах при¬

нять: коэффициент гармоничности /3 = 50Н/м, коэффициент

ангармоничности j = 500 ГПа, среднее межатомное расстояние

го = 0,4 нм.

50.67. Каково максимальное изменение ДПтах потенциальной

энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при

гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний

составляет 5% от среднего межатомного расстояния? Среднее рас¬

стояние го между атомами принять равным 0,3 нм, модуль Юнга

Е= 100 ГПа.

546

Гл. 10. Физика твердого тела

50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической

решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(x) = —/За;, то

тепловое расширение отсутствует.

50.69. Определить коэффициент гармоничности /3 в уравнении

колебаний частиц твердого тела, если равновесное расстояние го

между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга Е = 200 ГПа.

50.70. Оценить термический коэффициент расширения а твер¬

дого тела, считая, что коэффициент ангармоничности j ~ /3/(2го).

При оценке принять: модуль Юнга Е ~ 100 ГПа, межатомное рас-

стояние го = 0,3 нм.

50.71. Вычислить коэффициент ангармоничности j Для же~

леза, если температурный коэффициент линейного расширения

a = 1,2 • 10~5К~1, межатомное расстояние г$ = 0,25 нм, модуль

Юнга Е = 200 ГПа.

50.72. Определить, на сколько процентов изменится межатом¬

ное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Т = 400 К)

по сравнению с равновесным расстоянием го = 0,3 нм, отвечаю¬

щим минимуму потенциальной энергии. При расчетах принять

7 = /3/(2г0), модуль Юнга Е = 10 ГПа.

50.73. Оценить термический коэффициент расширения а твер¬

дого тела, обусловленного фононным давлением (в области Т <§;

<S Эо). При оценке принять: плотность р кристалла равной

104кг/м3, модуль Юнга Е = 100 ГПа, относительную атомную

массу Аг — 60.

50.74*. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна и классическую теорию (закон Дюлонга и Пти), найти количество теплоты Q, необходимое для нагревания кристалла никеля массой тп = 20 г при температуре Ti = 170 К на AT = 2 К. Характеристи¬ческая температура Эйнштейна вЕ = 340 К.

50.75*. Найти количество теплоты Q, необходимое для нагре¬вания одного моля кристалла золота от температуры Т\ = 0Е до температуры Тг = 2вЕ. Расчеты выполнить, используя класси¬ческую теорию теплоемкости (закон Дюлонга и Пти) и квантовую теорию Эйнштейна. Характеристическая температура Эйнштейна ЭЕ = 125 К. Найти относительную погрешность, даваемую расче¬тами по классической теории в указанном температурном интер¬вале.

50.76*. При не слишком низких температурах квантовая те-ория теплоемкости Эйнштейна достаточно хорошо согласуется с экспериментом. Определить, по Эйнштейну, изменение AU вну¬тренней энергии кристалла германия массой тп = 30 г при его нагревании от температуры Т\ = (1/4)ЭЕ до Тг = (1/2)ВЕ, где ЭЕ = 280 К. Во сколько раз полученное значение AU меньше рас¬считанного по классической теории (закон Дюлонга и Пти)?

50.77*. Кристалл хрома массой тп = 104 г имеет при темпе¬ратурах Ti = 50 К и Т2 = 60 К теплоемкости Ci = 1,94 Дж/К