§ 50. Тепловые свойства

543

50.32. Вычислить молярную нулевую энергию Щ, м кристаллов

с двухмерной решеткой, если характеристическая температура 0D

Дебая равна 350 К.

50.33. Рассматривая в дебаевском приближении систему из

продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию рас¬

пределения частот g(u) для кристалла с одномерной решеткой

(т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодейству¬

ющие друг с другом). При выводе принять, что число собственных

колебаний Z ограничено и равно 3JV (N — число атомов в рас¬

сматриваемом объеме).

50.34. Зная функцию распределения частот д(ш) — 3JV/wmax

для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для

внутренней энергии кристалла, содержащего число N (равное по¬

стоянной Авогадро) атомов.

50.35. Получить выражение для молярной теплоемкости, ис¬

пользуя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с

одномерной решеткой:

xdx

■L Г

&D J

©о/т

ехр (х) — 1

UM = 3RT

©о/т

50.36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решет¬кой выражается формулой

xdx

См = 3-R

ео/т

ехр (ж) — 1 ехр (6D/T) — 1

Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Т <g GD).

50.37. Вычислить молярную нулевую энергию £/о,м кристалла

с одномерной решеткой, если характеристическая температура 0D

Дебая равна 300 К.

Теплопроводность неметаллов. Фононы

50.38. Вода при температуре Т\ = 0 °С покрыта слоем льда тол¬

щиной h — 50 см. Температура Т воздуха равна 30° С. Определить

количество теплоты Q, переданное водой за время т = 1 ч через

поверхность льда площадью S = 1м2. Теплопроводность Л льда

равна 2,2Вт/(м-К).

50.39. Какая мощность N требуется для того, чтобы поддержи¬

вать температуру Т\ = 100° С в термостате, площадь S поверхно-

сти которого равна 1,5 м2, толщина h изолирующего слоя равна

2 см и внешняя температура Т = 20 °С?

50.40. Найти энергию е фонона, соответствующего максималь¬

ной частоте штах Дебая, если характеристическая температура 0D

Дебая равна 250 К.

50.41. Определить квазиимпульс р фонона, соответствующего

частоте ш — 0,lwmax. Усредненная скорость v звука в кристалле

равна 1380 м/с, характеристическая температура 0D Дебая равна

100 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.

50.42. Длина волны Л фонона, соответствующего частоте ш =

= 0,01штах, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн,

определить характеристическую температуру GD Дебая, если усред¬

ненная скорость v звука в кристалле равна 4,8 км/с.

50.43. Вычислить усредненную скорость v фононов (скорость

звука) в серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругости,

а также плотность р серебра считать известными.

50.44. Характеристическая температура во Дебая для вольф¬

рама равна 310 К. Определить длину волны Л фононов, соответ¬

ствующих частоте v = 0,l^max- Усредненную скорость звука в

вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.

50.45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла,

атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с

другом) равен 0,3 нм. Определить максимальную энергию етах

фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усред¬

ненная скорость v звука в кристалле равна 5 км/с.

50.46. Определить усредненную скорость v звука в кристалле,

характеристическая температура во которого равна ЗООК. Меж¬

атомное расстояние d в кристалле равно 0,25 нм.

50.47. Вычислить среднюю длину Л свободного пробега фоно¬

нов в кварце ЭЮг при некоторой температуре, если при той же

температуре теплопроводность Л = 13Вт/(м-К), молярная тепло-

емкость См = 44Дж/(моль-К) и усредненная скорость v звука

равна 5 км/с. Плотность р кварца равна 2,65 ■ 103кг/м3.

50.48. Найти отношение средней длины Л свободного пробега

фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кри¬

сталле NaCl, если теплопроводность Л при той же температуре

равна 71 Вт/(м • К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана-

Коппа. Относительные атомные массы: ANa = 23, ЛС1 = 35,5;

плотность р кристалла равна 2,17 • 103кг/м3. Усредненную ско¬

рость v звука принять равной 5 км/с.

50.49. Вычислить фононное давление р в свинце при темпе¬

ратуре Г = 42,5 К. Характеристическая температура 0D Дебая

свинца равна 85 К.

50.50. Определить фононное давление р в меди при температуре

T = 6D, есливо = 320К.

544

Гл. 10. Физика твердого тела