§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

57

Значения mi, m2, d и а подставим в формулу (5)8) и произведем вычи¬сления:

л Jz = 6,80 • 1(Г46 кг • м2.

§ О

о1,

7/2

/

Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень дли¬ной I — 1 м и массой mi = 1 кг с прикрепленным к одному из его концов диском массой т2 — 0,5mi. Определить момент инерции Jz такого маятника относительно оси Oz, проходящей через точку О на стержне пер¬пендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).

Решение. Общий момент инерции маят¬ника равен сумме моментов инерции стержня JZl и диска JZ2:

(6)

JZ2.

Jz —

Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня J\ и диска J2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 51. Чтобы определить моменты инерции JZl и JZ2, надо воспользоваться теоре¬мой Штейнера

Рис. 3.2

(7)

J = Jc + ma2

Подставив полученные выражения JZl и JZ2 в формулу (6), найдем

Jz = O.lllmiJ2 +0,871m2J2 = (O.lllmi +0,871m2)J2, или, учитывая, что m2 = 0,5mi,

Jz = 0,547ml i2.

Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Oz:

Jz = 0,547 кг -м2.

Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой mi = 10 кг на¬сажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой т2 = 2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением о будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

У777777777?

Решение. Линейное ускорение а гири равно тан¬генциальному ускорению точек вала, лежащих на его ци¬линдрической поверхности, и связано с угловым ускоре-нием е вала соотношением

(8)

a = ет,

Выразим момент инерции стержня согласно формуле (7):

т^2 . ,

Расстояние ai между осью Oz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс Ci стержня, как следует из рис. 3.2, равно 1/2 — 1/3 = = 1/6. С учетом этого запишем

(02=

12 ' х \6J 9

Момент инерции диска в соответствии с формулой (7) равен

где г — радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным урав-нением динамики вращающегося тела

М J'

(9)

с ^^

Рис. 3.3

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инер¬ции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его мо¬мент инерции относительно геометрической оси равен

J-

где R — радиус диска; R = 1/4. Расстояние Оа между осью Oz и парал¬лельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2) 11/Ъ + 1/4 = 11Z/12. С учетом этого запишем

J22 = ^ (1

Щ} = 0,0312m2Z2 + 0,840т2/2 = 0,871m2J2.

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М = Тг.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m2g, направленная вниз, и сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Нью¬тона, m2g—T = m^a, откуда Г = m^g—a). Таким образом, вращающий момент М = т2(д — а)т.

Подставив в формулу (9) полученные выражения М и J, найдем угло-вое ускорение вала:

8) Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят в виде отношения.

4 Зак. 237

е —

m2(g-a)r _ 2m2(g-a) (l/2)mir2

58

Гл. 1. Физические основы механики