§ 1. Кинематика

13

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты — началь¬ное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту 1 = 0. Ее значение равно

х0 = х(0) = А = 5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты по

dx

времени: v = — = В + 2Ct = 0, откуда at

Максимальная координата

Xmax = Z(2) = 9 М.

Момент времени t, когда координата х = 0, найдем из выражения

х = А + Bt + Ct2 = 0. Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

-B±yjB2-AAC

*~ 2С

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

t = (2 ± 3) с.

Таким образом, получаем два значения времени: t' = 5 с и t" = — 1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяв: условию задачи (t ^ 0).

График зависимости координаты точки от времени представляет со¬бой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка содержит пять коэффи¬циентов. Поэтому кроме трех вычисленных ранее характерных значе¬ний координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t\ = 1 с и t2 = 6 с:

xi = А + Bti + Ct\ = 8 м; х2 = А + Bt2 + Ct\ — -7 м. Полученные данные представим в виде таблицы*

Время, с to = 0 = 1 *в = 2 ? = 5 t2 = 6

Координата, м Хо = А = 5 XI = 8 Emax г2 •* х = 0 х2 = -7

Используя данные таблицы, чертим график зависимости координаты от времени (рис. 1.2).

х, м 15

10

График пути (штриховая линия) построим, исходя из следующих соображений: 1) путь и координата до момента изменения знака ско¬рости совпадают; 2) начиная с момента возврата (tB) точка движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента

времени tB = 2 с совпадает с графиком коор¬

динаты, а начиная с этого момента является

зеркальным отображением графика коорди¬

наты. t

2. Средняя скорость (vx) за интервал вре-мени *2 — ti определяется выражением

t. с

О

х2 -

-5

Подставим значения Xi,x2,ti, и произведем вычисления:

/ \ -7-8м

<**> = "6-ГГ7 = -3

! из таблицы

Рис. 1.2

3. Среднюю путевую скорость (v) находим из выражения

где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t^ — t\. Из гра¬фика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: sx = xmax — Xi, который точка прошла за интервал времени tB — t\, и «2 = Xmax + |a;2|, который она прошла за интервал t2 — tB. Таким образом, путь

| - X\.

S - Si + S-2 = (xmax - ХХ) + (xmax + |X2|) = 2x

Подставим в это выражение значения х\, |х2|, хтах и произведем вычи¬сления:

(s) = 2 • 9 + 7 - 8 = 17 м. Тогда искомая средняя путевая скорость

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна. Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имею¬щему радиус кривизны Д = 50м. Уравнение2) движения автомобиля

2) В заданном уравнении движения £ означает криволинейную координату, отсчитанную по дуге окружности.

14

Гл. 1. Физические основы механики