§ 50. Тепловые свойства

541

50.14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую

энергию £/о,м кристалла цинка. Характеристическая температура

ЭЕ для цинка равна 230 К.

Теория теплоемкости Дебая

50.15. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело

как систему из продольных и поперечных стоячих волн, устано¬

вить функцию распределения частот д(ш) для кристалла с трех¬

мерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что чи¬

сло собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число

атомов в рассматриваемом объеме).

9JV

50.16. Зная функцию распределения частот д(ш) = —^— ш2

ш

для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Аво-гадро) атомов.

50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла

ж3 da;

ехр (а;) — 1' о

получить выражение для молярной теплоемкости.

50.18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла

, ©D/T

Ш7

/T)

12

a;3 da;

ехр (а;) — 1 ехр (0D/T) — 1

Найти предельное выражение молярной теплоемкости при низких температурах (Г <С 6D).

50.19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию

UQ М кристалла меди. Характеристическая температура 0D меди

равна 320 К.

50.20. Определить максимальную частоту штах собственных

колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристиче-

ская температура 6D равна 180 К.

50.21. Вычислить максимальную частоту шт?л Дебая, если

известно, что молярная теплоемкость См серебра при Т = 20 К

равна 1,7Дж/(моль-К).

50.22. Найти отношение изменения Д£/ внутренней энергии

кристалла при нагревании его от нуля до Т — O,10D к нулевой

энергии UQ. Считать Т <g 0D.

50.23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить из¬

менение Д£/м молярной внутренней энергии кристалла при нагре¬

вании его от нуля до Т = O,10D. Характеристическую температуру

во Дебая принять для данного кристалла равной 300 К. Считать

т<ео.

50.24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вы¬

числить изменение Д£/м молярной внутренней энергии кристалла

при нагревании его на AT = 2 К от температуры Т = 0D/2.

50.25. При нагревании серебра массой m = Юг от Т\ = 10К

до Тг = 20 К было подведено AQ — 0,71 Дж теплоты. Опреде¬

лить характеристическую температуру 0D Дебая серебра. Считать

т<ео.

50.26. Определить относительную погрешность, которая будет

допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо

значения, даваемого теорией Дебая (при Т = 0D), воспользо¬

ваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.

50.27. Найти отношение 0E/0D характеристических темпера¬

тур Эйнштейна и Дебая.

Указание. Использовать выражения для нулевых энергий, вычи¬сленных по теориям Эйнштейна и Дебая.

50.28. Рассматривая в дебаевском приближении систему из

продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию рас¬

пределения частот д(ш) для кристалла с двухмерной решеткой

(т.е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При

выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено

и равно 3iV (N — число атомов в рассматриваемом объеме).

6JV

50.29. Зная функцию распределения частот д(ш) — —^—ш для

тах

кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутрен¬ней энергии U кристалла, содержащего N (равное постоянной Аво-гадро) атомов.

х2 dx

50.30. Получить выражение для молярной теплоемкости См, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой:

ехр (х) — 1'

иы = зяг

50.31. Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решет¬кой выражается формулой

2(0D/T)

exp {©D/T) -II"

I V0D/ J exp(a;)-l

Найти нредельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Т <g 0D).

542

Гл. 10. Физика твердого тела