§ 50. Тепловые свойства

• Коэффициент линейного расширения, по определению,

_ 1 dl

a~ldr-

Теоретически он выражается через коэффициенты /3 и 7 формулой

7* _ 1 к

a = -„—, или приближенно а = 5~ГД>

р То 2 гор

где к — постоянная Больцмана.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример. Определить количество теплоты AQ, необходимое для на-гревания кристалла NaCl массой m = 20 г на ДГ = 2 К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) Т\ — GD; 2) Г2 = 2 К. Характеристическую температуру Дебая 0D для NaCl принять равной 320 К.

Решение. Количество теплоты Дф, подводимое для нагревания тела от температуры 7i до тг, может быть вычислено по формуле

(1)

AQ= I CdT,

"~2тяс2>

где Ни/ — энергия гамма-фотона; тя — масса ядра.

• Естественная ширина спектральной линии

~т'

где т — среднее время жизни ядра (атома) в возбужденном состоянии.

• Сила f(x), возвращающая частицу в положение равновесия при

ангармонических колебаниях, определяется выражением

f(x) = -(3x + 1X2,

где Р —г коэффициент гармоничности, связанный с равновесным рассто-янием го между атомами кристалла и модулем продольной упругости Е соотношением

Р = го£;

7 — коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию ко-лебаний атомов в твердом теле. Для опенки по порядку величин можно принять

Ц 7=2V

где С — теплоемкость тела (системы).

Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью См соотно-шением С = (тп/М)См, где m — масса тела; М — молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

Т2

AQ

dT.

(2)

-— (с ~MJCM

В общем случае См есть функция температуры, поэтому за знак ин-теграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением те-плоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т\ можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур ДГ постоянной и равной CM(Ti). Ввиду этого формула (2) примет вид

(3)

AQ = £(

Молярная теплоемкость CM(Ti) в теории Дебая выражается фор¬мулой

x3da;

3(0Р/Гх)

exp(z)-l exp(0D/Ti)-l

©J У

34 Зак. 237

538

Гл. 10. Физика твердого тела

§ 50. Тепловые свойства

a;3 da;

= f

- 1 f,

г ехр (х)

/ В первом случае при 7\ = 0D интеграл Г

ехр (х) - 1

= 0,225 (см. табл. 2) и, следовательно,

Сы = 2,87R. Подставляя это значение См в формулу (3), получим

тп

(4)

AQ = 2,87—RAT. М

Произведя вычисление по формуле (4), найдем

AQ = 16,3 Дж.

Во втором случае (Г <С 0D) нахождение Д<5 облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с ко¬торым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в фор-

12тг4

муле (2).

Используя выражение предельного закона Дебая См =

r^— ] , получим

Г2+ДГ

дд=1^-^^- / г3dr.

5 М03 J

Выполним интегрирование:

AT)4 T,4\

12тг4 т R

(5)

5 М03 V 4 С учетом того, что Г2 + ДГ = 2Г2) выражение (5) примет вид

Подставив в последнюю формулу значения величин тг, тп, М, R, Т и 0t и произведя вычисления, найдем

Д<2 = 1,22 мДж.

ЗАДАЧИ

Классическая теория теплоемкости

50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюми¬ния и меди по классической теории теплоемкости.

50.2. Пользуясь классической теорией, вычислить удельные

теплоемкости с кристаллов NaCl и СаСЬ.

50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости тепло¬

емкость С кристалла бромида алюминия АЮгз объемом V = 1 м3.

Плотность р кристалла бромида алюминия равна 3,01 • 103 кг/м3.

50.4. Определить изменение AU внутренней энергии кристалла

никеля при нагревании его от t\ = 0°С до ti = 200°С. Масса m

кристалла равна 20 г. Теплоемкость С вычислить.

50.5. Вывести формулу для средней энергии (е) классического

линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии.

Вычислить значение (е) при Т = 300 К.

50.6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоя¬

щей из N = 1025 классических трехмерных независимых гармо¬

нических осцилляторов. Температура Г = 300 К.

Указание. Использовать результат решения задачи 50.5.

Теория теплоемкости Эйнштейна

50.7. Определить: 1) среднюю энергию (е) линейного одномер¬

ного квантового осциллятора при температуре Г = GE (GE =

= 200К); 2) энергию U системы, состоящей из N = 1025 кван¬

товых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре

T = GE (GE = 300K).

50.8. Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории

теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура

0Е серебра равна 165 К.

50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия (е) квантового

осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повы-

шении температуры от Т\ = GE/2 до Тг = GE? Учесть нулевую

энергию.

50.10. Определить отношение (е)/(ет) средней энергии кванто¬

вого осциллятора к средней энергии теплового движения молекул

идеального газа при температуре Г = 0Е.

50.11. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна,

вычислить изменение Д£/м молярной внутренней энергии кри¬

сталла при нагревании его на ДГ = 2 К от температуры Г = GE/2.

50.12. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, опреде¬

лить изменение AUM молярной внутренней энергии кристалла при

нагревании его от нуля до Т\ = 0,lQE. Характеристическую тем¬

пературу GE Эйнштейна принять для данного кристалла равной

300 К.

50.13. Определить относительную погрешность, которая будет

допущена, если при вычислении теплоемкости С вместо значения,

даваемого теорией Эйнштейна (при Т = GE), воспользоваться зна¬

чением, даваемым законом Дюлонга и Пти.

34*

540

Гл. 10. Физика твердого тела