§ 50. Тепловые свойства

535

• Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории те-плоемкости Эйнштейна определяется по формуле

где С/о, м = (3/2)i?0E — молярная нулевая энергия по Эйнштейну; 0Е — характеристическая температура Эйнштейна.

• Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемко¬сти Эйнштейна

Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю

(, ес/т \eDJ J exp(a;)-l

з(еР/г)

exp(0D/T)-l

Предельный закон Дебая. В области низких температур1) (Г <tC 0D) последняя формула принимает вид

ехр(вЕ/Г)

(ехр(0Е/Г)-1)2-

При низких температурах (Г С GE)

• Энергия е фонона2) связана с циклической частотой us колебаний классической волны соотношением

е = Ни.

• Квазиимпульс фонона

• Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Де-бая задается функцией распределения частот g(u>). Число dZ собствен-ных частот тела, приходящихся на интервал частот от ы до ш + do;, определяется выражением

dZ = g(u>) du>.

Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,

O7V

dZ?f

где Wmax — максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний. • Энергия U твердого тела связана со средней энергией (е) квантового осциллятора и функцией распределения частот g(w) соотношением

2тгН

Р =

• Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле

de

dp

При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пре-небречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут:

е

и = v = -. Р

Скорости продольных (vi) и поперечных (vt) волн в кристалле опре-деляются по формулам

U

= J

Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

eDJ J

ехр(я)-1

Ах,

где Е и G — модули соответственно продольной и поперечной упругости. Усредненное значение скорости звука v связано с vi и vt соотноше-

1 = 1 + 1

V3 V? V3'

где С/о, м = (9/8)Д0С — молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; 0D = ^max/fc — характеристическая температура Дебая.

') Считать при решении задач Г <S 0D, если T/0D < 0,1-2) Фонон — квазичастица, являющаяся квантом поля колебаний кристалли¬ческой решетки.

536

Гл. 10. Физика твердого тела

• Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверх-ность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt, равно

где А — теплопроводность; dT/dx — градиент температуры. Знак ми¬нус в формуле показывает, что направление теплового потока противопо¬ложно вектору градиента температуры.

• Теплопроводность А, теплоемкость С, рассчитанная на единицу

объема, скорость v звука (усредненное значение) и средняя длина сво¬

бодного пробега Л фононов связаны соотношением

А = -CvA.

О

• Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом До¬

плера,

Аи v „ .

= - COSP (v <С с),

LJ С

где v — скорость атома; с — скорость распространения электромагнит-ного излучения; в — угол между вектором v и направлением наблюдения (от атома к наблюдателю).

• Энергия отдачи ядра при испускании гамма-фотона

537