§ 49. Элементы кристаллографии

529

Подставив в это выражение найденное ранее значение а, получим

d = 393 пм.

Пример 3. Написать индексы направления прямой, проходящей через узлы [[100]] и [[001]] кубической примитивной решетки.

Решение. Эту задачу можно решить двумя способами.

1-й способ. Изобразим кубическую примитивную ячейку, отметим на ней узлы с индексами [[100]] и [[001]] и проведем через эти узлы прямую (рис. 49.5а).

Заданная прямая не проходит через начало координат. Но этого можно достигнуть, перенеся начало координат в один из узлов, через которые проходит прямая.

ntl

Если перенести начало координат в узел [[100]] (рис. 49.56), то узел, лежащий на той же прямой и ближайший к выбранному началу коорди-

[[001]

[[101]]

[[100R

У [[Ю1]]1

У [[000]

Рис. 49.5

нат, будет иметь индексы [[101]], а искомое направление в этом случае определится индексами [101].

Если же начало координат перенести в узел [[001]] (рис. 49.5в), то соответственно индексы искомого направления будут [101]. Итак, индек¬сы искомого направления в кристалле [101] или [101].

2-й способ. Не всегда бывает легко определить, как изменятся ин¬дексы узлов при переносе начала координат. Поэтому рассмотрим ана-литический метод решения.

Напишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве, с индексами узлов [[minipi]] и

х — mi У — ^ц z — Pi

Пример 4. Написать индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с индексами [[200]], [[010]] и [[001]]. Решетка кубическая, прими-тивная.

Решение. Возможны два способа решения задачи.

1-й способ применим в тех случаях, когда узлы, принадлежащие плоскости, лежат одновременно и на осях координат (т.е. известны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат).

В данном случае узлы, принадлежащие плоскости, лежат на осях ко-ординат, и отрезки (в единицах постоянной решетки), отсекаемые на осях координат этой плоскостью, соответ¬ственно будут 2,1,1 (рис. 49.6).

В соответствии с общим правилом нахо-ждения индексов Миллера напишем обрат-

1 1 1 ные значения полученных чисел -; -; - и

[[200]

Рис. 49.6

приведем их к наименьшему целому крат-ному этих чисел. Для этого умножим числа на два. Полученная совокупность значений, заключенная в круглые скобки, и есть иско-мые индексы Миллера (1, 2, 2).

2-й способ (аналитический) особенно удобен тогда, когда известные узлы не лежат на осях координат. Этот способ является общим и при¬меним во всех случаях.

Известно, что индексы Миллера равны наименьшим целочисленным коэффициентам при переменных в уравнении плоскости. Поэтому реше¬ние задачи по определению индексов Миллера сводится, по существу, к отысканию уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами ]], [[m2n2p2]], [Нз"зРз]]| дается определителем третьего порядка

= 0.

х - mi у - щ z-pi m2 — mi n2 - п\ р2 — Pi m3 - mi n3 - ni рз - Pi

В нашем случае: mi = 2, щ = 0, p\ =0; m2 = 0, n? — 1, Рг = 0; шз — 0, пз = 0, рз = 1. Подставляя значения индексов узлов в опреде¬литель, получим

m2 -mi П2-П1 ft-Pi

Величины, стоящие в знаменателе, пропорциональны направляю¬щим косинусам прямой. Но так как эти величины целочисленны, то они и будут являться индексами направления.

Подставив в знаменатель выражения (3) значения индексов узлов mi = 1, щ = 0, pi = 0 и т2 = 0, п2 = 0, рг = 1, получим:

т2 — mi = 0 — 1 = —1; п2 - щ = 0 - 0 = 0; Рг ~Р\ = 1-0= 1.

Таким образом, искомые индексы направления [101].

х-2 у z -2 1 0 -2 0 1

= 0, или

= 0.

х-2 j/-0 z-0 0-2 1-0 0-0 0-2 0-0'1-0

1 0 -2 0 -2 1

0 1 -у -2 1 + z -2 0

Разложим этот определитель по элементам первой строки:

= 0.

(х-2) Раскрывая определитель второго порядка, получим

35 Зак. 237

530

Гл. 10. Физика твердого тела