§ 49. Элементы кристаллографии

525

или в общем случае

п М

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (к = 1),

Р

пМ'

Параметр а кубической решетки

Глава 10

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 49. Элементы кристаллографии

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Молярный объем кристалла

v =*£

где М — молярная масса вещества; р — плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии V = а3;

б) при гексагональной сингонии V = л/За2с/2. Здесь а и с — пара¬

метры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) m гранецентрированной d = a/v2;

б) в объемно-центрированной d = \/3a/2.

• Для обозначения узлов, направлений и плоскостей в решетке вво¬

дятся специальные индексы.

Индексы узлов записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например m (рис. 49.2).

• Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скоб¬

ках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через кото-

то V =

/8 с = \ -с

• Число ZM элементарных ячеек в од¬ном моле кристалла

У ._ Vu „ kNA

—

ZM - —, или ZM = -^-

Рис. 49.1

где fc — число одинаковых атомов в хи-мической формуле соединения (например,

в кристалле AgBr число одинаковых атомов Ag или Вг в химической формуле соединения равно единице); NA — постоянная Авогадро; п — число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку. На рис. 49.1 представлена структура NaCl; аналогичную структуру имеют соединения KBr, AgBr, MnO и др.

Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла

Ц_

[[ОН]'

[[110]]

[[ПО]]

Рис. 49.2

рый проходит прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[ОДО]] (рис. 49.2).

Индексы направления задают не одну прямую в кристалле, а семей¬ство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обратные по знаку [mnp] означает то же самое направление в кристалле.

• Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [mnp], в кубической решетке выражается соотношением

vM'

где а — параметр решетки.

526

Гл. 10. Физика твердого тела

§ 49. Элементы кристаллографии

527

• Угол ц> между прямыми выражается формулой

в кубической решетке

типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходя¬щихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке,

ТП1ТП2

п\

yfm\

+PlP2

-

8

= 4 узла.

• Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых

скобках (hkl). Изменение всех индексов на обратные (hkl) отвечает тому

же семейству плоскостей.

Индексы Миллера связаны с минимальными отрезками, отсекае¬мыми плоскостью на осях координат.

• Для нахождения отрезков следует взять обратные величины ин¬

дексов Миллера (1/Л; 1/fc; 1/1) и привести их к наименьшему целому,

кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть

наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.

Если известны отрезки, отсекаемые на осях координат, то индексы Миллера находятся аналогичным путем (см. пример 4). Ин¬дексы Миллера пропорциональны направляющим косинусам вектора нормали к данной плоскости. Поэтому индексы Миллера для некоторого семейства плоскостей совпадают с индексами направлений нормали к этим плоскостям.

• Угол между плоскостями (hikili) и (Лг^г'г) определяется из фор¬

мулы

cos (p =

а между прямой [mnp] и плоскостью (hkl) — из формулы

hm + кп + lp

sin v? =

y/h2

+ n2 + p2'

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей струк¬туре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Пример 2. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гра-нецентрированная кубической сингонии). Плотность р кристалла кальция равна 1,55 х х 103кг/м3.

Решение. Параметр а кубической ре-шетки связан с объемом элементарной ячей-ки соотношением V = а3. С другой сто¬роны, объем элементарной ячейки равен от-ношению молярного объема к числу элемен¬тарных ячеек в одном моле кристалла: V = = VM/ZM. Приравняв правые части приве¬денных выражений для V, найдем

Рис. 49.4

* = £■ СЧ

Молярный объем кальция VM = М/р, где р — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле

п

где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в фор¬мулу (1) приведенные выражения для VM и ZM, получим

пМ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить число п узлов, приходящихся на одну эле-ментарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячей¬ку в кубической решетке (рис. 49.3) и опреде¬лим, скольким соседним элементарным ячей¬кам принадлежит тот или иной узел выделен¬ной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересе-чения диагоналей).

Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в дан-ную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки

Рис. 49.3

и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов

а =

Отсюда

(2)

а =

Подставим значения величин n, M, р и NA в формулу (2), учитывая, что п = 4 (см. предыдущий пример). Произведя вычисления, найдем

а = 556 пм.

Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений, ясных из рис. 49.4:

«1-4=-

л/2

528

Гл. 10. Физика твердого тела