§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

53

где Jz, с — момент инерции тела относительно оси Oz, проходящей через его центр масс (С); т — масса тела; а — расстояние между параллель¬ными осями Oz и Oz'.

• Момент силы, действующий на тело, относительно точки О

М = [rF],

где г — радиус-вектор, направленный от точки О, относительно которой определяется момент силы, к точке приложения силы F.

• Момент силы, действующий на тело, относительно оси Oz (проек¬

ция вектора М на ось Oz)

Mz = [rF]np.z,

или

Mz = FJ,

где F±_ — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси Oz; I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы).

• Момент импульса материальной точки относительно точки О

L = [гр],

где г — радиус-вектор, направленный от точки О, относительно кото¬рой определяется момент импульса, к движущейся материальной точке, импульс которой равен р.

• Момент импульса материальной точки относительно оси Oz (про¬

екция вектора L на ось Oz)

Lz = [гр]пр.г, или

б) относительно неподвижной оси Oz

где Mz и Lz — главный момент внешних сил и момент импульса си¬стемы относительно оси Oz, или для твердого тела с неизменным мо¬ментом инерции

Mz = Jze,

где Jz — момент инерции твердого тела, е — угловое ускорение. • Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:

а) относительно точки (М = 0)

L = const;

б) относительно оси Oz (Mz = 0)

Lz = const,

или

Jzw — const,

где ы — угловая скорость тела.

• Работа постоянного момента силы Mz, действующего на вращаю-щееся вокруг оси Oz тело,

А =

где ip — угол поворота тела. • Мгновенная мощность

где р±. — проекция импульса р на плоскость, перпендикулярную оси Oz; I — плечо импульса р (кратчайшее расстояние от оси Oz до линии, вдоль которой движется материальная точка).

• Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно оси Oz,

Lz = Jzu.

• Основной закон динамики вращательного движения:

а) относительно неподвижной точки

™ dL M

N = Mzu.

• Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвиж¬ной оси Oz,

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости,

где М — главный (результирующий) момент всех внешних сил, действу-ющих на систему относительно неподвижной точки О;

dL

— скорость изменения момента импульса системы относительно той

at

же точки;

где vc — скорость центра масс тела, Jz — момент инерции тела отно-сительно мгновенной оси Oz, проходящей через его центр масс.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

54

Гл. 1. Физические основы механики

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

55

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики

FAt = mv2 -ты; М At = Ju)2 — Jwi;

F = та М = Je

Закон сохранения

импульса момента импульса

53 niiVi = const

Работа и мощность

A = Fs;

N = Fv А = М<р\

Кинетическая энергия

гг rnv2 2

1 2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

tr -

ъ

т

Пример 1. Вычислить момент инерции Jz молекулы NCb относи¬тельно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно

Оу) молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «на нас»).

Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера

J = Jc + ma2.

Jz< — момент инерции относительно оси z', параллельной оси г и прохо-дящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент

инерции

(2)"

J, = Jz» —ma .

Момент инерции Jz> находим как сумму моментов инерции двух мате-риальных точек (атомов кислорода):

(3)

Jz< ^P

Расстояние о между осями z и z' равно координате хс центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2) хс ■ — данном случае

27711:1:1

а — хс —

, a dcos —. 2

или, учитывая, что х\ — d cos (а/2) и х2 = 0, а = хс =

(4)

Подставив в формулу (2) значения Jz-, m, а соответственно из выра-жений (3), (1), (4), получим

cPcos2-,

Jz = 2mi<f - (2mi + m2) I I

\2mi+m2/

или после преобразований

Рис. 3.1

плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол а = 140°.

Решение. Молекулу NCb можно рассматривать как систему, со-стоящую из трех материальных точек общей массой

m = 2mi +m2, (1)

где mi — масса атома кислорода; тг — масса атома азота.

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром масс С (ось

(5)

m2

ЗУ

cos

Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (Ао = = 16) и азота (.AN = 14) и запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1а.е.м. = 1,66 • 10~27кг, см. табл. 9):

mi = 16 • 1,66 • 1(Г27 = 2,66 • Ю-26 кг; гоа = 14 • 1,66 ■ Ю-27 = 2,32 -10"26 кг.

56

Гл. 1. Физические основы механики