§47. Строение атома

509

47.4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое

.решение уравнения при малых г.

Указание. Считать при малых г члены а и 2/3/г малыми по срав¬нению с 1(1 + 1)/г2. Применить подстановку x(r) = гТ-

47.5. Найти решение уравнения для радиальной функции R(r),

описывающей основное состояние (Z = 0), и определить энергию

электрона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной

функции может быть записано в виде

d2R

dr2 г dr

где а = 2тпЕ/Н2; Р — Ze2m/(4neoh)2; I — орбитальное квантовое число.

Указание. Применить подстановку R(r) =exp(—jr).

47.6. Атом водорода находится в основном состоянии. Соб¬

ственная волновая функция, описывающая состояние электрона

в атоме, имеет вид ф(г) = С ехр (—г/а), где С — некоторая

постоянная. Найти из условия нормировки постоянную С.

47.7. Собственная функция, описывающая основное состояние

электрона в атоме водорода, имеет вид ф(г) = С ехр (—г/а), где

а = 4neoh2/(e2m) (боровский радиус). Определить расстояние г,

на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

47.8. Электрон в атоме водорода описывается в основном состо¬

янии волновой функцией ф(г) = С ехр (—г/а). Определить отно¬

шение вероятностей W1/W2 пребывания электрона в сферических

слоях толщиной Дг = 0,01а и радиусами г^ = 0,5а и Г2 = 1,5а.

47.9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычи¬

слить: 1) вероятность W\ того, что электрон находится внутри

области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому ради¬

усу а; 2) вероятность Wi того, что электрон находится вне этой

области; 3) отношение вероятностей W2/W1. Волновую функцию

ехр

( I.

считать известной: ^100 (г) =

V

47.10. Зная, что нормированная собственная волновая функ¬

ция, описывающая основное состояние электрона в атоме водо-

рода, имеет вид ф(г) = . ехр (—), найти среднее расстоя-

V7ra3 ч а/ ние (г) электрона от ядра.

47.11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изо¬

бражать контуром, ограничивающим область, в которой вероят¬

ность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атом¬

ных единицах радиус орбитали для ls-состояния электрона в

атоме водорода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию, фюо(р) = ехр(—р)/т/тг, где р — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах.

Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графически.

47.12. Волновая функция, описывающая 2в-состояние электро-

1 ( Р\

на в атоме водорода, имеет вид i[>2oo(p) — /^—(2 — р) ехр ( ——J,

где р — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных еди¬ницах. Определить: 1) расстояние р\ от ядра, на которых вероят¬ность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния р2 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) построить графики зависимости |^>2оо(р)| от р и р |"02оо(/о)| от р.

47.13. Уравнение для угловой функции Y(6, ф) в сферической системе координат может быть записано в виде

~*т2вдв2)~ Л'

где Л — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произведения двух функций: У(0, ф) = &(в)Ф(ф), где Э(0) — функция, зависящая только от угла 0; Ф(<р) — то же, только от угла ср.

47.14. Угловая функция Ф(ф) удовлетворяет уравнению 2 ,

+ тп2Ф = 0. Решить уравнение и указать значения параметра тг, при которых уравнение имеет решение.

47.15. Зависящая от угла (р угловая функция имеет вид Ф((р) =

= С ехр (гтф). Используя условие нормировки, определить посто¬

янную С.

47.16. Изобразить графически угловое распределение плотно¬

сти вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если

угловая функция Vj,m(0, ф) имеет вид: 1) в s-состоянии (Z = 0)

Уоо = 1/у/ж; 2) в р-состоянии (Z = 1) при трех значениях т:

а) т =. 1, Yi,i = v/3/(87r)sin0 ■ ехр(гф}; б) т = 0, Yi,o =

= ^/3/(47r)cos0; В) т = -1, Yi,_i = у/зД&п) sin в ■ ехр (-i(p).

Для построений воспользоваться полярной системой координат.

47.17. Угловое распределение плотности вероятности нахожде¬

ния электрона в атоме водорода определяется видом угловой функ¬

ции YitTn(6, ф). Показать, что р-подоболочка имеет сферически

симметричное распределение плотности вероятности. Воспользо¬

ваться данными предыдущей задачи.

510

Гл. 9. Элементы квантовой механики