§ 47. Строение атома

505

• Полный спиновый момент атома

Ls = n\/b(b + 1

где S — полное спиновое квантовое число.

• Полный момент импульса атома

• Энергия атома в магнитном поле

• Величина расщепления спектральной линии при эффекте Зеемана: а) сложном (аномальном)

Cj = hyJJ{J + 1),

где J — полное внутреннее квантовое число.

• Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм)

где 25 + 1 — мультиплетность. Вместо полного орбитального квантового числа L пишут символ в соответствии с таблицей:

Значение 0 1 2 3 4 5

Символ S Р D F G Я

Пример. Терм 2Р3/2 Расшифровывается следующим образом: муль-типлетность 25+1 = 2; следовательно, S = 1/2, символу Р соответствует L = 1, a J = 3/2.

• Магнитный момент атома

где д — множитель (или фактор) Ланде:

9

1) + S(S+1)-L{L + 1)

2J(J

• Проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью z)

где m", m'j и д", д' — магнитные квантовые числа и множители Ланде соответствующих термов; б) простом (нормальном)

Ды = 0, ±ыл-• Правила отбора для квантовых чисел S, L, J и ms, mL, m,,:

AS = 0; Ams = 0;

AL = ±1; AmL = 0, ±1; AJ = 0, ±1; Arrij = 0, ±1.

He осуществляются переходы J = 0 —> J = 0, а при J = 0 — переходы т,=0-> тп} = 0.

4

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. АТОМ водорода находится в состоянии Is. Определить вероятность W пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом г = 0,1а (где а — радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.

Решение. Вероятность обнаружить электрон в окрестности точки с координатами г, в, <р в объеме dV определяется равенством

В ls-состоянии волновая функция ф сферически симметрична, т. е. зависит только от г, и поэтому

где ^юо (f) — собственная нормированная волновая функция, отвечаю-

1 / г\

щая основному состоянию: V'IOOM = , exp I — I.

\ CL /

где ТП] — полное магнитное квантовое число (тп} = J, J — 1, ..., — J). • Сила, действующая на атом в неоднородном магнитном поле,

где dB/dz — градиент магнитной индукции. • Частота ларморовой прецессии

у/ж сг

Благодаря сферической симметрии ^-функции вероятность обнару-жить электрон на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема AV, отвечающий одинаковой плотности веро-ятности, можно представить в виде объема сферического слоя радиусом г и толщиной dr: AV = 4тгг2 dr.

С учетом выражений ^ioo(r) и AV формула (1) запишется в виде

2т'

где m — масса электрона.

№ =

expl —

= — ехр [ ) г2 dr

32 Зак. 237

506

Гл. 9. Элементы квантовой механики

§ 47. Строение атома

507

При вычислении вероятности удобно перейти к атомным единицам, приняв в качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты а. Если ввести безразмерную величину р = г/а, то

г2 = р2а2, dr = a dp и dW = 4 exp (-2р)р2 dp.

Вероятность найдем, интегрируя dW в пределах от г\ = 0 до гг = = 0,1а (или от р\ — 0 до рг = 0,1):

0,1

W

= 4 / р2 exp (-2p) dp.

Этот интеграл может быть точно вычислен интегрированием по частям, однако при малых р (ртах = 0,1) выражение ехр (—2р) можно разложить в ряд Маклорена:

и произвести приближенное вычисление.

Пренебрегая всеми членами степени выше первой, запишем инте¬грал в виде

0,1 0,1 0,1

W = 4 /"(1 - 2р)р2 dp = 4 Г р2 dp - 8 [ р3 dp.

о оо

Первый и второй интегралы дают соответственно результаты

0,1

-з

0,1

и

= 0,2 • 10

Таким образом, искомая вероятность

W = 1,33 ■ 10~3 - 0,2 • Ю-3 = 1,13 • 10~3.

Пример 2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в Зр-состоянии. Определить изменение магнитного момента, обусловлен-ного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Решение. Изменение AMi магнитного момента найдем как раз-ность магнитных моментов в конечном (основном) и начальном (возбу-жденном) состояниях, т.е. AMi = Mi, — Mit.

Магнитный момент орбитального движения электрона зависит толь¬ко от орбитального квантового числа I:

Mi = fh,y/l(l + 1).

Отсюда имеем: в основном состоянии I = 0 и Mi2 = 0; в возбужден¬ном (Зр) состоянии I = 1 и Mit = ЦВУ/2- Следовательно, изменение магнитного момента

AMi = -/

Знак минус показывает, что в данном случае магнитный момент уменьшился. Подставив значение цв = 0,927 • 10~23 Дж/Тл, получим

= -1,31 ■ Ю-23 Дж/Тл.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Атом водорода

47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид

г*дг V дг) + г* [втвдв \*т(*дв) + sin2в dip*) +

— (F Ze* \

Н2 \ 4тгеог/

Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций:

где R(r) — радиальная и Y(0, ф) — угловая функции.

47.2. Уравнение для радиальной R(r) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

d2i?

2dR ( 2/3 Ш +

dr2

r dr \ r TL

где а, Р и I — некоторые параметры. Используя подстановку X(r) = rR(r), преобразовать его к виду

чр щ + ]

dr2

47.3. Уравнение для радиальной функции х(г) может быть пре-образовано к виду •

где а = 2mE/h2; ft = Ze2m/(4ireoh)2; I — целое число. Найти асимптотические решения уравнения при больших числах г. Ука-зать, какие решения — с Е > 0 или с Е < 0 — приводят к свя-занным состояниям.

32*

508

Гл. 9. Элементы квантовой механики