§ 47. Строение атома

501

46.81*. Определить показатель преломления п (п = Л1/Л2) волн де Бройля на границе потенциальной ступени (см. рис. 46.5), если коэффициент прохождения т через нее оказался равным 0,64. На рисунке изобразить действительные части падающей и прошед¬шей через ступень волн де Бройля.

46.85*. Электрон с энергией Е = 1,5 эВ находится в потенци¬альной яме шириной d = 0,3 нм (рис. 46.12). Высота С/о прямо¬угольного потенциального барьера равна 1,65 эВ. Оценить время т нахождения электрона в такой потенциальной яме.

-•1

0 / х

Рис. 46.8

и,

U(x)

Рис. 46.9

V(x)

T 4.

1

0 d Ш х

Рис. 46.12

U(x}>

0 d Рис. 16.13

46.82*. Электрон с энергией Е — 10 эВ падает на потенциаль-ную ступень (рис. 46.9). Определить показатель преломления п (п = Ai/Аг) волн де Бройля, если потенциальные энергии U\ и С/г соответственно равны 2 и 8эВ. На рисунке изобразить действи-тельные части падающей на ступень и прошедшей через нее волн де Бройля.

46.83*. Электрон с энергией Е = 20 эВ подлетает к потенциаль¬ной ступени (рис. 46.10). Потенциальные энергии U\ и С/г соответ¬ственно равны 15 и 5 эВ. Определить при прохождении электрона через ступень: 1) коэффициент отражения р; 2) коэффициент про¬хождения т; 3) показатель преломления п волн де Бройля.

U(x)

U(x)

46.86*. Электрон с энергией Е проходит над потенциальным барьером (рис. 46.13) высотой Щ = 5эВ. При какой минимальной энергии Emin (Ет\п > С/о) электрон пройдет над барьером беспре¬пятственно (не испытывая отражения). На рисунке изобразить действительную часть волновой функции.

§ 47. Строение атома

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сфериче¬ских координатах

г2 дг V дг)+ г2 \вп0 86 \ дб ) + sin2 6д62) +

и.

Рис. 46.10

0 Рис. 46.11

46.84*. Металлическая поверхность представляет для свобод¬ных электронов, находящихся внутри металла, высокую потенци¬альную ступень (рис. 46.11). Оценить глубину d проникновения5) электронов за пределы поверхности металла. При расчетах при¬нять С/о — Е = 2,2 эВ (работа выхода электронов из металла для калия). На рисунке изобразить плотность вероятности |^>(:с)|2 нахождения электрона внутри и вне металла.

5) Под глубиной проникновения понимают расстояние, на котором вероят¬ность нахождения частицы уменьшается в е раз.

где ф = ф{г, в, if) — волновая функция; Е — полная энергия частицы; U — потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат). • В атоме водорода (или водородоподобном ионе) потенциальная энер¬гия U{r) имеет вид

где Z — зарядовое число; е — элементарный заряд; е0 — электрическая постоянная.

• Собственное значение энергии Еп электрона в атоме водорода

Z2e4m

п"~

где h — постоянная Планка, п — главное квантовое число (п = 1,2,3,...).

502

Гл. 9. Элементы квантовой механики

§ 47. Строение атома

503

• Символическая запись ^-функции, описывающей состояние элек-трона в атоме водорода,

где п, I, m — квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное.

Вероятность AW того, что электрон находится в области, ограничен-ной элементом объема AV, взятого в окрестности точки с координатами г, в, v,

где dV = г2 sin в Ав dy> dr (в сферических координатах).

В s-состоянии (I = 0, т = 0) волновая функция сферически-симмет-ричная (т. е. не зависит от углов в и (р).

Нормированные собственные ^-функции, отвечающие s-состоянию (основному) и 2в-состоянию,

ехр

(-Э-

• Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механи¬

ческого моментов: ., КЛ -.

Mi _ MiiZ _ цв _ 1 е

£i £tfX ft 2 m"

• Спин6) и спиновый магнитный момент электрона:

£„ = hy/s{s + 1), Мя = 2fiBy/s{s + 1),

где s — спиновое квантовое число (s = 1/2).

• Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на

направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z):

где тпа — спиновое магнитное квантовое число (т„ = —1/2, +1/2).

• Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механиче¬

ского моментов: . л ..

Ся £Sj2 ft m

• Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с

помощью спектроскопических символов:

или в атомных единицах

■фюо(р) = -^ ехр {-р),

- р) ехр (-

Значение орбитального квантового числа 0 1 2 3 4 5 6 7

Спектроскопический символ S р d / 9 h г к

где в качестве единицы длины принят боровский радиус а —

= 52,9 пм. При таком выборе единицы длины расстояние от ядра р = = г/а будет выражаться в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами.

Вероятность dW найти электрон в атоме водорода, находящемся в s-состоянии, в интервале (г, г + dr) одинакова по всем направлениям и определяется формулой

• Орбитальные момент импульса и магнитный момент электрона:

Ct = Ну/Щ + 1), Mi = MB y/WTl),

где I — орбитальное квантовое число, которое может принимать значе-/хв = п— = 0,927 х 2тп

Дж/Тл).

-23

х 10)

• Проекции орбитальных момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z):

Электронная конфигурация записывается следующим образом: чи¬сло, стоящее слева перед спектроскопическим символом, означает глав¬ное квантовое число п, а сам спектроскопический символ отвечает тому или иному значению орбитального квантового числа I (например, обо-значению Ър отвечает электрон с п = 2 и I — 1; 2р2 означает, что таких электронов в атоме 2, и т. д?).

• Принцип Паули. В атоме не может находиться два (и более) элек¬

трона, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел:

n, I, mi, тпя.

• Полный момент импульса электрона

где j — внутреннее квантовое число (j = I + 1/2,1 — 1/2). • Полный орбитальный момент атома

CL = hy/L{L + Г), где L — полное орбитальное квантовое число.

6) Спином называется собственный момент импульса электрона и других эле-ментарных частиц. Спин не связан с перемещением частицы как целого и имеет квантовую природу. Спин выражается в единицах постоянной Планка h.

504

Гл. 9. Элементы квантовой механики