§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

499

и ipn(x) = Агехр (—кх). Используя непрерывность ^-функций и их первых производных на границе ступени, найти отношение амплитуд AilA\.

46.62. Написать выражение для фц{х) в области II (рис. 46.6)

высокой потенциальной ступени, если ^-функция нормирована

так, что А\ = 1.

46.63. Амплитуда Ai волны в области II высокой потенци¬

альной ступени (рис. 46.6) равна 2ki/(ki + гк) (к\ = у/2тЕ/К,

V(x) II

Е

к = ^/2т(С/о — E)lh)- Установить выраже-ние для плотности вероятности нахождения частицы в области II (ж > 0), если энергия частицы равна Е, а высота потенциальной ступени равна UQ.

46.64. Используя выражение для коэффи-циента отражения от низкой ступени р =

Рис. 46.6

ki — &2

== ■; т— , где «1 и «2 — волновые числа,

">1 i Л2

найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (Т < С/о).

46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокой потенциальной ступени, если коэффициент отражения

может быть записан в виде р =

ki+ik

46.66. Определить плотность вероятности |^>ц(0)|2 нахождения

электрона в области II высокой потенциальной ступени в точке

х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциальной

ступени равна UQ И ^-функция нормирована так, что А\ = 1.

Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины

46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энер¬

гией Е, движущейся в положительном направлении оси х для

областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих обла¬

стей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой UQ И

шириной d.

46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. пре¬

дыдущую задачу) для областей I, II и III, пренебрегая волнами,

отраженными от границ I—II и П-Ш, и найти коэффициент про¬

зрачности D барьера.

46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через

прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий

С/о — Ё = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5 нм.

46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциаль¬

ный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота С/о барьера больше энер-

гии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) Е = 10 эВ; 2) Е = 100 эВ.

46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна

0,2 нм. Разность энергий UQ — Е = 1эВ. Во сколько раз изме¬

нится вероятность W прохождения электрона через барьер, если

разность энергий возрастет в п = 10 раз?

46.72. Электрон с энергией Е = 9 эВ движется в положительном

направлении оси х. При какой ширине d потенциального барьера

коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота UQ барьера равна

10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции

(ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III

(см. рис. 46.3).

46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального ба¬

рьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01?

Разность энергий UQ — Е = 10 эВ.

46.74. Электрон с энергией Е движется в положительном на¬

правлении оси х. При каком значении UQ — Е, выраженном в

электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D = 10~3, если ши¬

рина d барьера равна 0,1 нм?

46.75. Электрон с энергией Е = 9 эВ движется в положительном

направлении оси х. Оценить вероятность W того, что электрон

пройдет через потенциальный барьер, если ее высота UQ = 10 эВ

и ширина d — 0,1 нм.

U(x)

: к

0 Рис 46.7 1 X

46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину

d = 0,1 нм. При какой разности энергий UQ — Е вероятность W

прохождения электрона через барьер равна 0,99?

46.77. Ядро испускает а-частицы с энергией Е = 5МэВ. В гру¬

бом приближении можно считать, что а-частицы проходят через

прямоугольный потенциальный барьер высотой UQ = 10 МэВ и ши¬

риной d = 5 -10~15 м. Найти коэффициент

прозрачности D барьера для а-частиц.

46.78. Протон и электрон прошли оди¬

наковую ускоряющую разность потенциалов

А(р = 10 кВ. Во сколько раз отличаются

коэффициенты прозрачности De для элек¬

трона и Dp для протона, если высота UQ

барьера равна 20кэВ.и ширина d = 0,1 пм?

46.79*. Электрон находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике в основном состоянии (п = 1). Ширина ящика I = 0,3 нм (рис. 46.7). Определить число столкно¬вений z электрона со стенками ящика в единицу времени.

46.80*. Электрон находится в основном состоянии (п = 1) в бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной I = 0,3 нм (рис. 46.8). Определить силу давления F, производимую электро¬ном на стенки ящика.

33*

500

Гл. 9. Элементы квантовой механики