§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

495

46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной I нахо¬

дится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона

на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном

от стенок ящика.

46.23. Частица в потенциальном ящике шириной I находится

в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W

нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок

ящика.

46.24. Вычислить отношение вероятностей W1/W2 нахождения

электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале

1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы

шириной I.

46.25. Показать, что собственные функции "фп(х) =\/ j sin —х

[2 . птп

и ipm\%) = \ т sin ~T~Xj 0ПИСЫВаюЩие состояние частицы в потен-циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.

1

/ ^п(х)фт{

dx =

1 при п = m, О при пфт.

46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике

шириной I. Определить среднее значение координаты (х) элек¬

трона (0 < х < I).

46.27. Используя выражение энергии Еп = n2h2n2/(2ml2)

частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить при¬

ближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора;

2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с

истинными значениями энергий.

Двух- и трехмерный потенциальный ящик

46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном

потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами

I = 10~14 м, оценить низший энергетический уровень нуклонов в

ядре.

46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С соб¬

ственной ^-функции ipnin2(xi У) = Csin ——xsin——у, описы-

вающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами 1\ и li-

46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном

квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторо¬

ной I. Определить вероятность W нахождения электрона в обла-

сти, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.

46.31. Определить из условия нормировки коэффициент соб-

/ ^-Y • "КП\ . 7ГП2

ственной ^-функции Wnin2n3\xi Vi z) = Csm——ж sin-;—у х

«1 *2

х sin ——г, описывающей состояние электрона в трехмерном по-

*з тенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l\, I2, fa-

Низкая^) потенциальная ступень

46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энер-

гией Е, движущегося в положительном направлении оси х для

областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей

имеется низкая потенциальная ступень высотой UQ.

46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. преды¬

дущую задачу) для областей I и И. Какой смысл имеют коэффи¬

циенты А\ и В\ для ^>i(a:) и А2 и Bi для ^ц(ж)? Чему равен

коэффициент £?2?

46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и

II потенциальной ступени ifa(x) — А\ exp (ik\x) + £?i exp (—ikix),

■фи(х) = Лгехр (ikx), определить из условий непрерывности

^-функций и их первых производных на границе ступени отно¬

шение амплитуд вероятности B\JA\ и A-ilA\.

В\ к\ — &2

46.35. Зная отношение амплитуд вероятности — = —

А\ к\ + к2

для волны, отраженной от низкой потенциальной ступени, и — =

для проходящей волны, найти выражение для коэффи-

+«2

l 2

циента отражения р и коэффициента прохождения т.

46.36. Считая выражение для коэффициента отражения р от

низкой потенциальной ступени и коэффициента прохождения т из¬

вестными, показать, что р + т = 1.

46.37. Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути

низкую потенциальную ступень высотой Uo = 9эВ (см. рис. 46.1).

Определить коэффициент преломления п волн де Бройля на гра¬

нице ступени.

46.38. Определить коэффициент преломления п волн де Бройля

для протона на границе низкой потенциальной ступени (рис. 46.5).

Кинетическая энергия Т протона равна 16 эВ, а высота UQ потен-

циальной ступени равна 9 эВ.

3) См. сноску на с. 488.

496

Гл. 9. Элементы квантовой механики