§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

491

. 2 27Г 1 / An \

sin —x = -11 — cos —x I и разобьем интеграл на два:

2J/3 21/3 21/3

м. 2 /• . 2 2тг iff, [ 4тг , \

W = - / sin — a; da; = - I / da; - / cos — xda; I =

1/3 2l/3>

из i \/з т '

1/3

47Г

8тг

4TT

Разделим числитель и знаменатель дроби на у/ЪпЕ:

Р

Решая уравнение относительно у/1 — UQ/E, получим

Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциаль¬ной ступени:

_ . 8?Г . 7Г . 4fl" . 7Г

«заметив, что sin — = sin —, a sin —- = — sin —, получим

о о о 3

W = 0,195.

Пример 2. Моноэнергетический поток электронов (Е = 100 эВ) падает на низкую прямоугольную потенциальную ступень бесконечной ширины (рис. 46.1). Определить высоту потенциальной ступени UQ, если известно, что 4% падающих на ступень электронов отражается.

Решение. Коэффициент отражения р от низкой потенциальной ступени выражается формулой

Р =

-k2

+k2

где ki и k2 — волновые числа, отвечающие движению электронов в обла¬стях I и II (см. рис. 46.1).

В области I кинетическая энергия электрона равна Е и волновое число

jfc /ЪЁ

jfci = гу/ЪпЁ. п

Поскольку координата электрона не определена, то импульс элек¬трона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно гово¬рить о точном значении кинетической энергии.

В области II кинетическая энергия электрона равна E—UQ И волновое число

Подставив сюда значения величин и произведя вычисления, найдем

Uo = 55,6 эВ.

Пример 3. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положитель¬ном направлении оси х (рис. 46.3). Высота t/0 потенциальной ступени равна 5 эВ. При какой ширине d ступени вероятность W прохождения электрона через нее будет равна 0,2?

"о

1 I II III

1

Решение. Вероятность W прохождения частицы через потенци¬альную ступень по своему физическому смыслу совпадает с коэффици¬ентом прозрачности D (W — D). Тогда веро¬ятность того, что электрон пройдет через пря¬моугольную потенциальную ступень, выразится соотношением

(4)

W я* exp (-^2m{U0-E)d\,

О d Рис. 46.3

где т — масса электрона. Потенцируя это вы-ражение, получим

inW - -\y/2m{U0 - E)d. п

Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой части этого равенства и найдем d: .

Коэффициент отражения может быть записан в виде2)

/ i 1 \ 2

/ V«во — wzm,(t!/

\у/2тЕ + у/2т(Е- Uo),

) В случае низкой потенциальной ступени fci и кг действительны, а знак модуля можно опустить.

2y/2m(U0-E)'

Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ и про-изведем вычисления:

d = 4,95 • 1O~10 м = 0,495 нм.

Учитывая, что формула (4) приближенная и вычисления носят оценоч¬ный характер, можно принять d ss 0,5 нм.

§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

493

46.13. Электрону в потенциальном ящике шириной Z отвечает

волновое число k = irn/l (п = 1, 2, 3, ...). Используя связь энер¬

гии Е электрона с волновым числом к, по¬

лучить выражение для собственных значе¬

ний энергии Еп.

46.14. Частица находится в потенциаль¬

ном ящике. Найти отношение разности со¬

седних энергетических уровней Д£7п+1,п к

энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п —

= 3; 2) п — 10; 3) п —> оо. Пояснить полу¬

ченные результаты.

46.15. Электрон находится в потенци-

I 5 О

V(x)

II U = 0

III

о /

Рис. 46.4

492

Гл.9. Элементы квантовой механики

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ Уравнение Шредингера

46.1. Написать уравнение Шредингера для Электрона, находя¬

щегося в водородоподобном атоме.

46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармо¬

нического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу

в положение равновесия, / = — /Зх (где /3 — коэффициент пропор¬

циональности, х — смешение).

46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид

5Ф

гТг-тг- = £?Ф. Найти решение уравнения. at

46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного элек¬

трона, движущегося в положительном направлении оси х со ско¬

ростью v. Найти решение этого уравнения.

46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции

говорят не о самой ^-функции, а о квадрате ее модуля ф2!

46.6. Чем обусловлено требование конечности ^-функции?

46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

имеет вид ——г- + ~zz~{U — Е)-ф = 0. Обосновать, исходя из этого

ox п

уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции, — ее непрерывность и непрерывность первой производной от волновой функции.

46.8. Может ли |^(ж)|2 быть больше единицы?

46.9. Показать, что для ^-функции выполняется равенство

|^(ж)|2 = ф(х)ф*(х), где ф*(х) означает функцию, комплексно

сопряженную ф{х).

46.Д0. Доказать, что если ^-функция циклически зависит от

времени (т.е. Ф(ж, t) = ехр ( — — Et\^{x) J, то плотность вероят-ности есть функция только координаты.

Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик

46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоуголь¬

ном одномерном потенциальном ящике шириной I (рис. 46.4).

Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометри¬

ческой форме) для области II (0 < х < I).

46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние

электрона в потенциальном ящике шириной I: ip(x) = C\ s'mkx +

+ Ci cos kx. Используя граничные условия ip(0) = 0 и ip(l) = 0,

определить коэффициент Ci и возможные значения волнового век¬

тора к, при котором существуют нетривиальные решения.

р

альном ящике шириной I — 0,5 нм. Определить наименьшую раз-ность АЕ энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы

в потенциальном ящике, имеет вид ipn(x) = С sin (irn/l)x. Исполь¬

зуя условия нормировки, определить постоянную С.

46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубо¬

кого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно

записать в виде ф(х) = С\ exp(ikx) + С2вхр(—гкх), где к =

= у/2тЕ/К. Используя граничные условия и нормировку ^-функ¬

ции, определить: 1) коэффициенты С\ и Ci', 2) собственные

значения энергии Еп. Найти выражение для собственной норми¬

рованной ^-функции.

46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных

функций ipn(x), описывающих состояние электрона в потенциаль¬

ном ящике шириной Z, а также вид |^п(ж)|2. Установить соот¬

ветствие между числом N узлов волновой функции (т.е. числом

точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале

0 < х < I) и квантовым числом п. Функцию считать нормиро¬

ванной на единицу.

46.19. Частица в потенциальном ящике шириной I находится

в возбужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках

интервала (0 < х < I) плотность вероятности |^2(ж)|2 нахождения

частицы максимальна и минимальна.

46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной I.

В каких точках в интервале (0 < х < I) плотность вероятности на¬

хождения электрона на первом и втором энергетических уровнях

одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек.

Решение пояснить графически.

46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном

состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в сред-

ней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

494

Гл. 9. Элементы квантовой механики