§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами I. Не противоречит ли это соотношению неопределен¬ностей?

§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Одномерное временное уравнение Шредингера

5Ф_ П2

1 8t ~ 2

8t ~ 2mdx2'

где г — мнимая единица (v^—1); тп — масса частицы; Ф(х, t) — волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

*(x,t) = Aexp\-(px-Et)\,

где А — амплитуда волны де Бройля; р — импульс частицы; Е — энер¬гия частицы.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где Е — полная энергия частицы; U{x) — потенциальная энергия; ф(х) — координатная (или амплитудная) часть волновой функции.

Для случая трех измерений ф(х, у, z) уравнение Шредингера запи-сывается в виде

2 2 2 2т._

или в операторной форме

а2 а2

+

д а а

где Д = тг-т + ■£-=■ + "5Т — оператор Лапласа. дх2 ду2 oz2

д2

дх2 ду2

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан-дартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: ко-нечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой ^-функции и ее первой производной.

• Вероятность AW обнаружить частицу в интервале от х до х + dx (в одномерном случае) выражается формулой

dW = \ip(x)\2dx, где |^>(х)|2 — плотность вероятности.

488

Гл. 9. Элементы квантовой механики

§ 46. Простейшие случаи движения микрочастиц

489

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от xt до дится интегрированием AW в указанных пределах:

w =

нахо-

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной /. Вычислить вероят-

• Собственное значение энергии Еп частицы, находящейся на п-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоуголь-ном потенциальном ящике, определяется формулой

Еп =

2тпР

п2 (п = 1,2, 3, ...),

2/1 V(0) = 0

о

Рис. 46.2

где / — ширина потенциального ящика.

Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид

/2

7ГП

ность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (п = 2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Решение. Вероятность W обнаружить частицу в интервале xi < < х < Х2 определяется равенством

• Коэффициент (показатель) преломления п волн де Бройля на гра¬нице низкой^(С/о < Е) потенциальной ступени (рис. 46.1)

12 J

; = J \фп(х)\2

(1)

п = — = —,

U(x) __ I II

Е

где Ai и Аг — длины волн де Бройля в обла¬стях I и II (частица движется из области I в область II); к\ и кг — соответствующие значе¬ния волновых чисел.

О х

Низкая потенциальная ступень

Рис. 46.1

• Коэффициенты отражения р и прохожде-ния т волн де Бройля через низкую потенци-альную ступень

2

Р =

т =

ki+k2

где к\ и А2 — волновые числа волн де Бройля в областях I и II.

• Коэффициент прозрачности D прямоугольной потенциальной сту-пени конечной ширины

D и ехр (--y/2m(U0 - E)d\ ,

где грп(х) — нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состо-яние электрона в потенциальном ящике, имеет вид

х.

тгп

Возбужденному состоянию (п = 2) отвечает собственная функция

/о" о

sina;

(2)

Подставив ^2 (я) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

где Г/о — высота потенциальной ступени; Е — энергия частицы; d — ширина ступени.

W = - I sin2 —х dx.

(3)

*) Потенциальная ступень называется низкой, если энергия Е частицы больше высоты С/о ступени, в противном случае ступень называется высокой.

Согласно условию задачи, xi = (1/3)/ HI2 = (2/3)/ (рис. 46.2). Под¬ставим эти пределы интегрирования в формулу (3), произведем замену

490

Гл. 9. Элементы квантовой механики