§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела

51

2.103*. С поверхности Луны стартовала ракета массой тс = 2 т. Спустя время т ракета достигла первой (лунной) космической ско¬рости vi = 1,68 км/с. Определить массовый расход ц топлива, если скорость и истечения газов из сопла ракеты равна 4 км/с. Силой тяжести пренебречь.

2.104*. Топливо баллистической ракеты составляет г\ = 3/4 от стартовой массы ракеты. Определить скорость v ракеты после пол¬ного сгорания топлива, если скорость и истечения газов из сопла ракеты постоянна и равна 2 км/с. Силой тяжести и сопротивле¬нием воздуха пренебречь.

2.105*. Во сколько раз будет отличаться ускорение о ракеты от стартового ускорения ос в тот момент времени, когда ее скорость v станет равной скорости и истечения газов из сопла ракеты. Силу тяги считать неизменной. Силами тяжести и сопротивления воз¬духа пренебречь.

|Дт|

массы ракеты

2.106*. Каково относительное изменение

ТПг

(тс — стартовая масса) к тому моменту .времени, когда ее ско-рость v достигнет скорости и истечения газов из сопла ракеты. Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.

§ 3. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

М = FJ,

где F± — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вра¬щения; I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси Oz:

а) материальной точки

Jz = mr2,

где m — масса материальной точки; г — расстояние от нее до оси вра-щения;

б) системы материальных точек

Jz =

где тп{ — масса г-й материальной точки; Г{ — расстояние от этой точки до оси Oz;

Ч

в) твердого тела

Jz = I r dm,

где знак «т» у интеграла означает, что интегрирование ведется по всем элементам твердого тела, обладающим массой. Для однородного тела плотностью р

r2dV,

h=pj

где dV — дифференциально малый объем тела, знак «V» у интеграла означает, что интегрирование ведется по всем элементам объема твердого тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции

Однородный тонкий стержень массой тп и длиной / Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню

Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню ml2 12

тп? 3

Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой тп, маховик радиусом R и массой тп, распределенной по ободу Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания mR2

Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой тп Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания mR2 2

Однородный шар массой тп и радиусом R Проходит через центр шара 2mR2 5

• Для плоских фигур (тонких пластин и жестко связанных матери¬

альных точек, лежащих в одной плоскости) справедливо равенство

J% — Jx "Г «/у,

где Jz — момент инерции плоской фигуры относительно оси Oz, пер-пендикулярной плоскости; Jx и Jy — моменты инерции той же фигуры относительно осей Ох и Оу, лежащих в плоскости.

• Теорема Штпейнера. Момент инерции Jz< твердого тела относи¬

тельно оси Oz'

Jz' = Jz,c + ma2,

5*

52

Гл. 1. Физические основы механики