§ 45. Волновые свойства микрочастиц

483

где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; в — угол скольжения; к — порядковый номер дифракционного максимума; А — длина волны де Бройля. Очевидно, что

А =

2dsin0

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

А = 360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля А = 2nH/(mv) выразим ско¬рость электрона:

2жП

тА

Подставив в эту формулу значения тг, Н, m (масса электрона), А и произведя вычисления, найдем

v = 2 • 106 м/с.

Пример 4. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопреде-ленностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением

(И)

Ах Ар> Й,

где Ах — неопределенность координаты электрона; Ар — неопределен-ность его импульса.

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется поло-жение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линей¬ные размеры I, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью Ах = 1/2. Соотношение неопределенно¬стей (11) можно записать в этом случае в виде (1/2) Ар > Й, откуда

Ар

(12)

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем

Imin = 124 ПМ.

Пример 5. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ДА спектральной линии из-лучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время т жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10~8 с, а длину волны А излучения — равной 600 нм.

Рис. 45.2

Решение. При переходе.атомов из возбужден¬ного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужден¬ного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Г (рис. 45.2). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энерге¬тического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением

Гт~Й. Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. Де = Г. Тогда

Де = ^. (13)

Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны А соотношением

е=—,

то разбросу Де (Де <С е) энергии соответствует разброс ДА длин волн (ДА «С А):

(14)

Ае =

Физически разумная неопределенность импульса Др, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т.е.

Ар^р.

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением р = = у/2тпТ. Заменим Ар значением у/2тпТ (такая замена не увеличит I). Переходя от неравенства (12) к равенству, получим

2Й

\/2тпТ'

(знак минус опущен).'

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн ДА и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив ДА из формулы (14) и заменив Де согласно (13), получим

ДА =

А2 2тгст'

Произведем вычисления:

ДА = 2 • Ю-14 м.

484

Гл. 9. Элементы квантовой механики