§ 45. Волновые свойства микрочастиц

479

Глава 9

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 45. Волновые свойства микрочастиц

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Формула де Бройля, выражающая связь длины волн с импульсом" р движущейся частицы, для двух случаев:

а) в классическом приближении (и^с; р = mov)

А =

2тгЙ

• Соотношения неопределенностей:

а) для координаты и импульса частицы

ДргДя ^ П,

где Арх — неопределенность проекции импульса частицы на ось х\ Да; — неопределенность ее координаты;

б) для энергии и времени

AEAt 2 h,

где АЕ — неопределенность энергии данного квантового состояния; At — время пребывания системы в этом состоянии.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно прене¬бречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля А для двух случаев: 1) U\ = 51 В; 2) t/2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля А частицы зависит от ее им¬пульса р и определяется формулой

б) в релятивистском случае (скорость v частицы сравнима со скоро-

v2 /с2)

стью с света в вакууме; р = mv =

2тгЙ

mov

А =

• Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы:

а) в классическом приближении А =

. 2тгйс „

б) в релятивистском случае А = . , где Ьо — энергия

\/Т(Т + 2Ео)

покоя частицы (Ео = тпо<?).

• Фазовая скорость волн де Бройля

и

где и — циклическая частота; к — волновое число {к = 2тг/А). • Групповая скорость волн де Бройля

и =

da)

Ж"

2тгЙ

А =

(1)

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нерелятивист¬ского (когда Т <С .Ео) и для релятивистского (когда Т и Ео) случаев соответственно выражается формулами:

(2) (3)

р=-у/{2Ео

2тгЙ

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответ¬ственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:

А =

А =

(4) (5)

• Соотношения де Бройля:

Е — Ни; р = hk,

где Е — энергия движущейся частицы; р — импульс частицы; к — волновой вектор; |к| = к = 2тг/А; Л — постоянная Планка.

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов Ui = 51В и С/г = 510 кВ, с энер¬гией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

480

Гл. 9. Элементы квантовой механики

§ 45. Волновые свойства микрочастиц

481

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоря-ющую разность потенциалов U,

T=\e\U.

В первом случае Гг = \e\Ut = 51 эВ = 0,51 -10~4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Ео = тос2 = 0,51 МэВ. Следовательно, можно применить формулу (4).

Для упрощения расчетов заметим, что Ii = 10~4moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

2жП

А,=

1022тг6

10~4тос

2жП

Учтя, что есть комптоновская длина волны Ас, получим

тос

А 10\

Так как Ас = 2,43 • 10~12 м, то

102

Ах = -j= - 2,43 • 10~12 м = 172 пм. /2

Во втором случае кинетическая энергия Гг = |е|Г/г = 510 кэВ = = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необхо-димо применить релятивистскую формулу (5).

Учтя, что Гг = 0,51 МэВ = тп0с2, по формуле (5) найдем

Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюда-ется при условии

(7)

asintp = (2k + 1) — ,

где к = О, 1, 2, 3, ... — порядковый номер максимумов; а — ширина щели.

Для максимумов первого порядка (к — 1) угол (р заведомо мал, поэтому sintp = tp и, следовательно, формула (7) примет вид

aip = ^А, (8)

а искомая величина х, как следует из рис. 45.1,

так как tg ip = ip.

Подставив значение (f из соотноше-ния (8) в формулу (9), получим

Рис. 45.1

=3 2a a

Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по фор-муле (6) дает

Ac 2 ~~ /г'

Подставив значение Ас в последнюю формулу и произведя вычисле-ния, получим

Аг = 1,4 пм.

Пример 2. На узкую щель шириной a = 1 мкм направлен парал¬лельный пучок электронов, имеющих скорость v = 3,65 • 106 м/с. Учи¬тывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели.

Решение. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны А, соответ-ствующая частице массой т, движущейся со скоростью v, выражается формулой

А =

(6)

2тгП

mv '

(10)

amv

х = 6

После вычисления по формуле (10) получим х = 6-10~5 м = 60 мкм.

Пример 3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения в изме-няется. Когда этот угол становится равным 64°, наблюдается макси-мальное отражение электронов, соответствующее дифракционному мак-симуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плос-костями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля А электронов и их скорость v.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа-Брэгга, которое исполь-зуется в случае рентгеновского излучения (см. §31):

2dsin0 = kX,

482

Гл. 9. Элементы квантовой механики