§41. Радиоактивность

459

40.50. Покоившееся ядро радона ^gRn выбросило а-частицу со скоростью v = 1,6 • 107м/с. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую скорость v\ получило оно в результате отдачи?

§ 41. Радиоактивность

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Основной закон радиоактивного распада

N = Noe~xt,

где N — число нераспавшихся атомов в момент времени t; No — число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (при t — 0); е — основание натуральных логарифмов; А — постоянная радиоактив¬ного распада.

• Период полураспада 7\/2 — промежуток времени, за который чи¬

сло нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада

связан с постоянной распада соотношением

_ In 2 _ 0,693 il/2 ~ "Г ~ ~А~'

• Число атомов, распавшихся за время t,

AN = N0-N = NO{1 - e~xt).

Если промежуток времени At «; Ti/2. то для определения числа распавшихся атомов можно применять приближенную формулу

AN к XNAt.

Среднее время жизни т радиоактивного ядра — промежуток вре¬мени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз (е — основание натуральных логарифмов):

1 Г=А-

• Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

«■-*«*•

где тп — масса изотопа; М — его молярная масса; NA — постоянная Авогадро.

• Активность А нуклида в радиоактивном источнике (активность

изотопа) есть величина, равная отношению числа dN ядер, распавшихся

в изотопе, к промежутку времени dt, за которое произошел распад. Ак¬

тивность определяется по формуле

или после замены N по основному закону радиоактивного распада

А = \Noe~M. Активность изотопа в начальный момент времени (t = 0)

Ао = A7V0.

Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер:

А = Aoe~xt.

• Массовая активность а радиоактивного источника есть величина,

равная отношению его активности А к массе тп этого источника, т. е.

А

a = —. тп

• Если имеется смесь ряда радиоактивных изотопов, образующихся

одни из другого, и если постоянная распада А первого члена ряда много

меньше постоянных всех остальных членов ряда, то в смеси устанавли¬

вается состояние радиоактивного равновесия, при котором активности

всех членов ряда равны между собой:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить начальную активность Ло радиоактивного магния 27Mg массой тп = 0,2 мкг, а также активность А по истечении времени t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.

Решение. Начальная активность изотопа

(1)

i = XN0,

тп

где А — постоянная радиоактивного распада; No — количество атомов изотопа в начальный момент (t = 0).

т 1 ^о = ТТ^А, то формула (1) примет вид

-II /9 М

Ьсли учесть, что А =

МТЛ

(2)

1/2

Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:

Ло = 5,15 • 1012 Бк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону

А = Лое"

(3)

460 Гл. 8. Физика атомного ядра и элементарных частиц

Заменив в формуле (3) постоянную распада А ее выражением, получим

461

§41. Радиоактивность

Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактивного распада, а затем и период полураспада:

Так как eln 2 = 2, то окончательно будем иметь

А = -

92

= —г— == 41,5 мин. А

ЗАДАЧИ

Сделав подстановку числовых значений, получим А = 8,05 • 1010 Бк.

Пример 2. При определении периода полураспада 7\/2 коротко-живущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время At = 1мин в начале наблюдения (t — 0) было насчитано Ani = 250 импульсов, а по истечении t = 1ч за то же время At — Ап2 = 92 импульса. Определить постоянную радиоактивного распада А и период полураспада Ti/2 изотопа.

Решение. Число импульсов An, регистрируемых счетчиком за время At, пропорционально числу распавшихся атомов AN. Таким обра-зом, при первом измерении

Дщ =

(4)

= kNi (I - e-AAt),

где Ni — количество радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; к — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного при¬бора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изо¬топа).

При повторном измерении (предполагается, что расположение прибо-ров осталось прежним)

(5)

= kAN2 = kN2{l -

где N2 — количество радиоактивных атомов к моменту начала второго измерения.

Разделив соотношение (4) на выражение (5) и приняв во внимание, что по условию задачи At одинаково в обоих случаях, а также, что Ni и N2 связаны между собой соотношением iV2 = Nie~xt, получим

(6)

= е

Ащ

In ——

где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы-числения А выражение (6) следует прологарифмировать: In —— = At,

откуда

1 Ащ А = -In t

Закон радиоактивного распада

41.1. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе

радиоактивного иода 1311 распадается в течение ближайшей се¬

кунды?

41.2. Определить постоянные распада А изотопов радия 2JoRa

и 2Ц Ra.

41.3. Постоянная распада А рубидия 89Rb равна 0,00077 с"1.

Определить его период полураспада 7i/2.

41.4. Какая часть начального количества атомов распадется за

один год в радиоактивном изотопе тория 229Th?

41.5. Какая часть начального количества атомов радиоактив¬

ного актиния 225Ас останется через 5сут? через 15сут?

41.6. За один год начальное количество радиоактивного изо¬

топа уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за

два года?

41.7. За какое время t распадается 1/4 начального количества

ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада Тцо —

= 24ч? '

41.8. За время t = 8 сут распалось к = 3/4 начального коли¬

чества ядер радиоактивного изотопа. Определить период полурас¬

пада Txj2-

41.9. При распаде радиоактивного полония 210Ро массой m =

= 40 г в течение времени t = 10 ч образовался гелий 4Не, который

при нормальных условиях занял объем V = 8.9 см3. Определить

период полураспада Гх/2 полония.

41.10. Период полураспада Ту2 радиоактивного нуклида равен

1ч. Определить среднюю продолжительность т жизни этого ну¬

клида.

41.11. Какая часть начального количества радиоактивного ну¬

клида распадается за время t, равное средней продолжительности

т жизни этого нуклида?

Активность. Радиоактивное равновесие

41.12. Определить число N атомов, распадающихся в радиоак¬

тивном изотопе за время t = 10 с, если его активность А = ДО5 Бк.

Считать активность постоянной в течение указанного времени.

462

Гл. 8. Физика атомного ядра и элементарных частиц