§ 38. Атом водорода и водородоподобные ионы

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Момент импульса электрона в водородоподобном атоме (Н, Не+,

Li++ и т.д.), находящемся в стационарном состоянии

£n = mvr = nh (n = 1, 2, 3, ...),

где m — масса электрона; v — его скорость на орбите радиуса г; п — главное квантовое число; h — постоянная Планка.

• Энергия электрона в водородоподобном атоме

me4 (Z\2 2ж2е0П2 \n) '

где е — элементарный заряд; ео — электрическая постоянная; Z — атомный номер (зарядовое число, порядковый номер атома в таблице

Д. И. Менделеева).

• Радиус электронной орбиты в водородоподобном атоме

гп =

• Радиус первой боровской орбиты в атоме водорода

а = Г1= VE°^ = 5,29 • ИГ11 м. те2

• Правило частот Бора

fkj = ЕП1 — ЕП2,

где Ьи — энергия испускаемого или поглощаемого атомом фотона при пе-реходе атома из одного стационарного состояния в другое; ЕП1 и ЕП2 — энергии стационарных состояний, характеризуемых квантовыми чис¬лами П\ И П2-

• Энергия ионизации атома водорода и водородоподобного атома

= 2,16 -10~18 Дж = 13,6 эВ; Eti z = Z2E^

32тг2£0Й2 Сериальная формула для водородоподобного атома

где v — спектроскопическое волновое число; А — длина волны света, излучаемого или поглощаемого атомом (ионом) при переходе из одного стационарного состояния в другое; Z — зарядовое число; R — постоян¬ная Ридберга (Д = 1,097 • 107 м"1).

• Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,

А

7Y1P

£ = hi -г? -

где Е, — энергия ионизации 2) водорода: Et = 2irhRc=2,18 х 10~18 Дж = = 13,6 эВ.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (бо-ровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.

Решение. Согласно теории Бора, радиус г электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством mvr = nH. Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число п = 1и указанное выше равенство примет вид

mvr = И. (1)

Для определения двух неизвестных величин г и v необходимо еще одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравне¬нием движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается

) Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, равна потенциалу ионизации, выраженному в вольтах. Потенциалом ионизации называется уско¬ряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий элек¬трон, чтобы приобрести энергию, достаточную для ионизации атома.

446

Гл. 7. Квантовооптические явления. Физика атома

§ 38. Атом водорода и водородоподобные ионы

447

вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона можем записать

2 i 9

mv I e

Г 47Г£0 Г2

(е и тп — заряд и масса электрона), или

1 е2

9 ± о

(2)

mv* = .

47Г£о Г

Совместное решение равенств (1) и (2) относительно т дает

г =

47Г£()/г2

те2

Подставив сюда значения И, е, тп и произведя вычисления, найдем боровский радиус:

м.

-"

= а = 5,29 • 10

Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой орбите:

П

v = .

тпг

Произведя вычисления по этой формуле, найдем v = 2,18 • 106 м/с.

Пример 2. Определить энергию е фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Излучение, соответствующее тральной линии серии Пашена

Рис. 38.1

Решение. Энергия е фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,

е =

п о I >

п2 п\)

и2-5

где ЕГ — энергия ионизации атома водорода; щ = 1,2,3, ... — но-мер орбиты, на которую переходит электрон (рис. 38.1); тг2 = п\ + 1; ni+2; ...; ni+m — номер орбиты, с которой переходит электрон; m — номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена П\ = 3; для второй линии этой серии тп — 2, пъ — Ь.

Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:

е = 0,97 эВ.

ЗАДАЧИ

38.1. Вычислить радиусы гг и гз второй и третьей орбит в

атоме водорода.

38.2. Определить скорость v электрона на второй орбите атома

водорода.

38.3. Определить частоту обращения электрона на второй ор¬

бите атома водорода.

38.4. Определить потенциальную П, кинетическую Г и полную

Е энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водо¬

рода.

38.5. Определить длину волны Л, соответствующую третьей

спектральной линии в серии Бальмера.

38.6. Найти наибольшую Атах и наименьшую Ат,п длины волн

в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).

38.7. Вычислить энергию е фотона, испускаемого при переходе

электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на

первый.

38.8. Определить наименьшую ет,п и наибольшую етах энер¬

гии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии

Лаймана).

38.9. Атомарный водород, возбужденный светом определенной

длины волны, при переходе в основное состояние испускает только

три спектральные линии. Определить длины волн этих линий и

указать, каким сериям они принадлежат.

38.10. Фотон с энергией е = 16,5 эВ выбил электрон из невозбу¬

жденного атома водорода. Какую скорость v будет иметь электрон

вдали от ядра атома?

38.11. Вычислить длину волны А, которую испускает ион гелия

Не+ при переходе со второго энергетического уровня на первый.

Сделать такой же подсчет для иона лития Li++.

38.12. Найти энергию Е{ и потенциал U{ ионизации ионов Не+

и Ы++.

38.13. Вычислить частоты ш\ и ь>2 вращения электрона в атоме

водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с

частотой v излучения при переходе электрона с третьей на вторую

орбиту.

448

Гл. 7. Квантовооптические явления. Физика атома