§ 34. Законы теплового излучения

429

• Связь энергетической светимости Щ абсолютно черного тела с рав-новесной объемной плотностью и энергии излучения

Глава 7

КВАНТОВООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ. ФИЗИКА АТОМА § 34. Законы теплового излучения

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Закон Стефана-Болыдаана

где Щ — энергетическая светимость черного тела; Г — термодинами¬ческая температура; а — постоянная Стефана-Больцмана [<т = 5,67 х

• Энергетическая светимость серого тела

F% = атагТ4,

где ат — коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

• Закон смещения Вина

Ь_

где Ат — длина волны, на которую приходится максимум энергии из-лучения; Ь — постоянная закона смещения Вина (Ь = 2,90 х 10~3 м • К).

• Формула Планка

• _ 4*2Пс2 *

ГА-Т~ А6 ехр(2тгПс/кТХУ

д т,

где

г — спектральные плотности энергетической светимости черного тела; А — длина волны; w — циклическая частота; с — скорость света в вакууме; к — постоянная Больцмана; Г — термодинамическая температура; ft — постоянная Планка (ft = 1,05 • 10~34 Дж • с).

• Зависимость максимальной спектральной плотности энергетиче¬ской светимости от температуры

(г* ^ — Г"Г5

V А,т/шах — ^J >

где С — постоянная (С ~ 1,30 • Ю"5 Вт/(м3 • К5)).

где с — скорость света в вакууме.

• Давление теплового излучения связано с объемной плотностью энер-гии излучения соотношением

р=-и.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соот-ветствует длине волны А = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Щ Солнца; 2) поток энер¬гии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1с.

Решение. 1. Энергетическая светимость Щ черного тела выража¬ется формулой Стефана-Больцмана

(1)

= сгТ4.

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: Ат = Ь/Т. Выразив отсюда температуру Г и подставив ее в формулу (1), получим

(2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

Щ = 6,4 • 107 Вт/м2.

2. Поток энергии Фе> излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности: Фе = = ЩБ, или

(3)

Фе =

где г — радиус Солнца.

Подставив в формулу (3) значения 7г, г и Щ и произведя вычисления, получим

Фе = 3,9 • 1026 Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 с, определим, применив закон пропорциональности массы

430

Гл. 7. Квантовооптические явления. Физика атома

§ 34. Законы теплового излучения

431

и энергии Е = тс2. Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время: Е = Фе£. Следовательно, Фе£ = тс2, откуда m = $et/c2. Произведя вычисления по этой формуле, найдем

т = 4,3 • 109 кг.

Пример 2. Длина волны Ат, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 580 нм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (r\ T)max, рассчитанную на интервал длин волн ДА = 1нм, вблизи Ат.

Решение. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой

(г* ) — СТЬ (4)

V'A, т /max — ^ * • V*J

Температуру Г выразим из закона смещения Вина Ат = b/Т, откуда Т = Ь/Кп.

Подставив полученное выражение температуры в формулу (4), найдем

(5)

В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный ин-тервал длин волн ДА = 1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:

С = 1,30 • Ю-5 Вт/(м3 ■ К5) = 1,30 • Ю-5 Вт/(м2 ■ м • К5) =

= 1,30 • Ю-14 Вт/(м2 • нм ■ К5).

Вычисление по формуле (5) дает

(Гл,т)тах = 40,6 КВТ/(М2 • Нм).

ЗАДАЧИ

Закон Стпефана-Больцмана

34.1. Определить температуру Г, при которой энергетическая

светимость Щ абсолютно черного тела равна ЮкВт/м2.

34.2. Поток энергии Фе, излучаемый из смотрового окошка пла¬

вильной печи, равен 34 Вт. Принимая, что печь излучает как абсо¬

лютно черное тело, определить температуру Г печи, если площадь

отверстия 5 = 6 см2.

34.3. Определить энергию W, излучаемую за время t = 1 мин

из смотрового окошка площадью 5 = 8 см2 плавильной печи, если

ее температура Г = 1200 К.

34.4. Температура Т верхних слоев звезды Сириус равна 104 К.

Определить поток энергии Фе, излучаемый с поверхности площа¬

дью 5 = 1 км2 этой звезды.

34.5. Определить относительное увеличение АЩ/Щ энерге¬

тической светимости абсолютно черного тела при увеличении его

температуры на 1%.

34.6. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую тем-

пературу абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая свети¬

мость Щ возросла в два раза?

34.7. Принимая, что Солнце излучает как абсолютно черное

тело, вычислить его энергетическую светимость Щ и темпера¬

туру Т его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом

в = 32'. Солнечная постоянная1) С = 1,4кДж/(м2 • с).

34.8. Определить установившуюся температуру Г зачерненной

металлической пластинки, расположенной перпендикулярно сол¬

нечным лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии от

Земли до Солнца. Значение солнечной постоянной приведено в

предыдущей задаче.

34.9. Принимая коэффициент теплового излучения ат угля при

температуре Г = 600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую

светимость Щ угля; 2) энергию W, излучаемую с поверхности угля

с площадью 5 = 5 см2 за время t = 10 мин.

34.10. С поверхности сажи площадью 5 = 2 см2 при темпера¬

туре Т = 400 К за время t — 5 мин излучается энергия W = 83 Дж.

Определить коэффициент теплового излучения ат сажи.

34.11. Муфельная печь потребляет мощность Р = 1 кВт. Тем¬

пература Г ее внутренней поверхности при открытом отверстии

площадью 5 = 25 см2 равна 1200 К. Считая, что отверстие печи

излучает как абсолютно черное тело, определить, какая часть w

мощности рассеивается стенками.

34.12. Можно условно принять, что Земля излучает как серое

тело, находящееся при температуре Г = 280 К. Определить ко¬

эффициент теплового излучения ат Земли, если энергетическая

светимость Щ ее поверхности равна 325кДж/(м2 ■ ч).

34.13. Мощность Р излучения шара радиусом R = 10 см при

некоторой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту тем-

пературу, считая шар серым телом с коэффициентом теплового

излучения ат — 0,25.

') Солнечной постоянной С называется величина, равная поверхностной плот¬ности потока энергии излучения Солнца вне земной атмосферы на среднем рас¬стоянии от Земли до Солнца.

432

Гл. 7. Кваятовооптические явления. Физика атома