§ 2. Динамика материальной точки и тела

43

после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

2.28. Снаряд массой т = 10 кг выпущен из зенитного орудия

вертикально вверх со скоростью VQ — 800 м/с. Считая силу сопро¬

тивления воздуха пропорциональной скорости, определить время

t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления

к = 0,25 кг/с.

2.29. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте

над поверхностью Земли, сброшен груз массой т = 100 кг. Счи-

тая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально

скорости, определить, через какой промежуток времени т ускоре¬

ние о груза будет равно половине ускорения свободного падения.

Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с.

2.30. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться

по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопро-

тивления Fc пропорциональной скорости, определить скорость v

лодки через т = 20 с после начала ее движения. Коэффициент

сопротивления к = 20 кг/с.

2.31. Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение вре¬

мени т = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость

v = 4м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной.

Принять силу сопротивления Fc движению пропорциональной ско¬

рости; коэффициент сопротивления к = 100 кг/с.

2.32. Начальная скорость VQ пули равна 800 м/с. При движе¬

нии в воздухе за время t = 0,8 с ее скорость уменьшилась до

v = 200м/с. Масса m пули равна Юг. Считая силу сопроти¬

вления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить

коэффициент сопротивления к. Действием силы тяжести прене¬

бречь.

2.33. Парашютист, масса которого m = 80 кг, совершает затяж¬

ной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорцио¬

нальна скорости, определить, через какой промежуток времени г

скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости уста¬

новившегося движения. Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с.

Начальная скорость парашютиста равна нулю.

Закон сохраненья импульса

2.34. Шар массой пц = 10 кг, движущийся со скоростью v\ =

= 4 м/с, сталкивается с шаром массой тг = 4 кг, скорость v%

которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти

скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар на¬

гоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары

движутся навстречу друг другу.

2.35. В лодке массой mi = 240 кг стоит человек массой mi =

= 60 кг. Лодка плывет со скоростью v\ — 2 м/с. Человек пры-

гает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v = = 4м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

2.36. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной

легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса

человека М = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью v

(относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет

вдоль доски со скоростью (относительно доски) и = 1 м/с? Массой

колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

2.37. В предыдущей задаче найти, на какое расстояние: 1) пе¬

редвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски;

2) переместится человек относительно пола; 3) переместится центр

масс системы тележка-человек относительно доски и относительно

пола. Длина / доски равна 2 м.

2.38. На железнодорожной платформе установлено орудие.

Масса платформы с орудием М = 15 т. Орудие стреляет вверх

под углом <р = 60° к горизонту в направлении пути. С какой

скоростью vi покатится платформа вследствие отдачи, если масса

снаряда m — 20 кг и он вылетает со скоростью г>2 = 600 м/с?

2.39. Снаряд массой m = 10 кг обладал скоростью v = 200 м/с

в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две ча¬

сти. Меньшая массой mi = Зкг получила скорость щ = 400 м/с в

прежнем направлении. Найти скорость и?, второй, большей части

после разрыва.

2.40. В предыдущей задаче найти, с какой скоростью и?, и под

каким углом </?2 к горизонту полетит большая часть снаряда, если

меньшая полетела вперед под углом ip\ = 60° к горизонту.

2.41. Два конькобежца массами mi = 80 кг и m-i = 50 кг, дер¬

жась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на

льду один против другого. Один из них начинает укорачивать

шнур, выбирая его со скоростью v = 1 м/с. С какими скоростями

щ и ui будут двигаться по льду конькобежпы? Трением прене¬

бречь.

Динамика материальной точки, движущейся по окружности

2.42. Диск радиусом Л = 40 см вращается вокруг вертикаль¬

ной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент

трения fi = 0,4, найти частоту п вращения, при которой кубик

соскользнет с диска.

2.43. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» ради¬

усом г = 4м. С какой наименьшей скоростью umjn должен проез¬

жать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?

2.44. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так,

что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как

44

Гл. 1. Физические основы механики