§ 25. Работа по перемещению проводника

с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Работа сил магнитного поля (сил Ампера), совершаемая при пере-мещении контура с током в магнитном поле,

где / — сила тока в контуре, которая поддерживается неизменной; Ф2 и Ф1 — магнитные потоки, пронизывающие контур, в конечном и началь¬ном его положениях.

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Макс-велла)

Ьг ~ ~" At ~ ~ dt'

где £i — электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; Ф — потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной ин-дукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной /, движу¬

щегося со скоростью v в однородном магнитном поле,

U = Blv sin a,

где а — угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции £,, возникающая в рамке, содер¬

жащей ./V витков, площадью 5, при вращении рамки с угловой скоростью

ш в однородном магнитном поле с индукцией В

£, = BNSuismwt,

где wt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нор¬мали п к плоскости рамки.

9) См. сноску на стр. 350.

Количество электричества Q, протекающего в контуре,

п ДФ

где R — сопротивление контура; ДФ — изменение потокосцепления.

• Электродвижущая сила самоиндукции £{, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

или

где L — индуктивность контура. • Потокосцепление контура

где L — индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)-

L = /io/m2F.

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной про-ницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой

В

• Мгновенное значение силы тока / в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L: а) после замыкания цепи

1=^ 1-

где £ — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;

б) после размыкания цепи

I — 1о ехр

(-*)■

где /о — сила тока в цепи при t = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Виток, по которому течет ток / = 20 А, свободно уста¬новится в однородном магнитном поле В — 16мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол a — тг/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

354

Гл. 5. Электромагнетизм

§ 25. Электромагнитная индукция. Индуктивность

355

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле ин-дукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неиз-менным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

А = ДФ2 - ФО,

где Ф\ и Фг — магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна по модулю работе сил поля и про-тивоположна ей по знаку, т. е.

Авн = /(Ф! - Ф2).

Так как в начальном положении контур установился свободно (положе¬ние устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента рт контура сонаправлен с вектором В (рис. 25.1а) и магнитный поток Ф\ максимален (а = 0, cos а = 1), т.е. Ф1 = BS (где 5 — площадь кон¬тура). В конечном положении (рис. 25.16) вектор рт перпендикулярен

Рис. 25.1

вектору В (а — ТТ/2, cos а = 0) и магнитный поток Фг = 0. Перепишем выражение работы внешних сил Ав„ с учетом сделанных замечаний:

Ав„ = /Ф! = IBS. Так как площадь контура 5 = жсР/4, то работа

Ав„ = \lBtf.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу рабо¬ты (Дж):

п = 10с *. Площадь S рамки равна 150см2. Определить мгновенное значение ЭДС &, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции £j определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

dt

(1)

(2)

Потокосцепление Ф = Л^Ф, где N — число витков, пронизываемых маг-нитным потоком Ф. Подставив выражение Ф в формулу (1), получим

df

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф = BScoswt, где В — маг¬нитная индукция; 5 — площадь рамки; w — циклическая частота. Под¬ставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

£i = NBSui sin wt. (3)

Циклическая частота w связана с частотой п вращения соотношением w = 2ттп. Подставив выражение w в формулу (3) и заменив wt на угол а, получим

i

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает еди¬ницу ЭДС (В). Учтя, что 27г, N и smut — величины безразмерные и неименованные, получим

= 1 В.

х 2 _ 1 Н ■ 1 м2 _ 1 Дж

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

£i = 47,1 В.

к Н

= 1 Н • м = 1 Дж.

1 А-м

[J][B][d2] = 1 А1Тл-1м2 =

Произведем вычисления: 3,14

Лвн = ^ ■ 20 ■ 16 ■ Ю-3 ■ (ОД)2 Дж = 2,5 мДж.

Пример 3. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 • 10~6 Вб. Опре¬делить индуктивность L соленоида, если он имеет iV = 800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Ф соотношением Ф = LI, откуда L = Ф//. Заменив здесь потокосцеп¬ление Ф его выражением через магнитный поток Ф и число витков Л^ соленоида (Ф = Ф-N), получим

Пример 2. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, с частотой

L =

(5)

356

Гл. 5. Электромагнетизм

Произведя вычисления по формуле (5), получим

L = 1,6 мГн.

Пример 4. При скорости изменения силы тока AI/At в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции Е\ = 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением10)