§ 2. Динамика материальной точки и тела

37

Тогда

Подставив в уравнение (14) значения mi, m2 и 7\ и произведя вычисле¬ния, получим

Т2 = 29,6 Дж.

3. Молот до удара обладал энергией 7\; Т2 — энергия, переданная

фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки использовалась

энергия

Т - Ti - Т2.

Подставив в это выражение значения 7\ и Т2, получим

Т = 370 Дж.

4. Назначение молота — путем ударов о поковку, находящуюся на

наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энергию Т

можно считать полезной; к.п.д. удара молота о поковку равен отношению

энергии Т, затраченной на деформацию поковки, ко всей затраченной

энергии Т\:

Т Ti-T2

V=7f, или V= —^ •

Ti 1\

Подставив в последнее выражение Т2 по формуле (14), получим

т2

п = .

mi +m2

После подстановки значений т2 и mi найдем

77 = 92,6%.

Пример 9. Из сопла ракеты вылетают продукты сгорания (газы) со скоростью и = 2 км/с (относительно ракеты). Массовый расход горючего,

где dp •— импульс, получаемый порцией газа массой dm за время dt (рис. 2.7):

dp = udm. p=udm

dm

где —г— и есть массовый расход ц, т. е. dr

F = /zu. Следовательно, реактивная сила

R = -fiu.

Знак минус указывает на то, что реактивная сила R направлена проти-воположно скорости и выбрасываемых из сопла газов. Модуль реактивной силы

Проверим единицы измерения

[fi] [и] = 1 кг/с • 1 м/с = 1 кг • м/с2 = 1 Н. Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления R = 5 ■ 2 • 103 = 104 Н = 10 кН.

Пример 10. Ракета, имеющая стартовую массу тс = 10т, запу¬щена вертикально вверх. Пренебрегая действием внешних сил (силы тяжести и силы сопротивления), определить скорость v ракеты через интервал времени т — 2 мин после запуска. Массовый расход топлива у, = 25 кг/с и скорость и истекающих из сопла ракеты газов равна 2 км/с.

Решение. Запишем уравнение движения для тела переменной массы в векторной форме:

Рис. 2.7

т.е. масса ежесекундно выбрасываемых газов, у, = 5кг/с. Определить реактивную силу R, возникающую при выбрасывании газов.

Решение. Реактивная сила R, действующая на ракету, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и направлена противопо-ложно силе F, действующей со стороны ракеты на выбрасываемые газы:

R=-F.

Эту силу найдем, используя второй закон Ньютона, который запишем в виде

F-^

m

В процессе движения масса ракеты m(t) будет убывать, поэтому ее мас-совый расход следует считать величиной отрицательной, и тогда мгно-венную массу ракеты можно записать следующим образом:

m(t) = mc — fit. Так как влиянием внешних сил можно пренебречь, то

38

Гл. 1. Физические основы механики

§ 2. Динамика материальной точки и тела

39

Учитывая, что реактивная сила (см. пример 9) выражается как

R = —/ш, уравнение движения примет вид

(mc- fit)— = -fiu.

Проведем координатную ось у по направлению вектора скорости ра¬кеты v (рис. 2.8). Спроектируем на эту ось все векторные величины, входящие в последнее уравнение. Учитывая, что проекция скорости га¬зов и отрицательна, перепишем уравнение движения в координатной форме:

(mc- fit)— =fiu.

0.1

Произведем разделение переменных v и t

dv _ fidt и тс — fit

и проинтегрируем по времени в пределах от 0 до г и по скорости от 0 до г;

fdv__ j fidt J u J mc~ fit'

Подставим пределы

— = — In \mc — fir\ + In m0

и, опуская знак модуля под знаком логарифма, так как мгновенная масса ракеты (mo— fir) положительна, получим

тс

V = U In

Рис 2.8

тс- fir

10 ■ 103

= 2ln(

Это одна из форм записи формулы Циолковского. Поскольку логарифм любого числа представляет собой величину безразмерную, то единицы измерения правой и левой части равенства совпадают. Поэтому скорость и в единицах СИ можно не выражать, а оставить единицу, приведенную в условии задачи (км/с), тогда как стартовую массу тпс ракеты, массовый расход fi и время т обязательно надо выразить в единицах СИ. Произведем вычисления

10 ■ 103 - 25 • 120

= 0,713 км/с.

ЗАДАЧИ

Второй закон Ньютона

2.1. На гладком столе лежит брусок массой т = 4 кг. К бруску

привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F =

= ЮН, направленная параллельно поверхности стола. Найти

ускорение о бруска.

2.2. На столе стоит тележка массой mi = 4 кг. К тележке при¬

вязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким уско¬

рением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура

привязать гирю массой тг = 1 кг?

2.3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут

шнур, к концам которого привязали грузы массами mi = 1,5 кг

и 7712 = Зкг. Каково будет показание весов во время движения

грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

2.4. Два бруска массами т\ = 1 кг и тг = 4 кг, соединенные

шнуром, лежат на столе. С каким ускорением о будут двигаться

бруски, если к одному из них приложить силу F = ЮН, направ¬

ленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, со¬

единяющего бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску?

ко второму бруску? Трением пренебречь.

2.5. На гладком столе лежит брусок массой m = 4 кг. К бруску

привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки,

прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шну¬

ров подвешены гири, массы которых mi = 1 кг и тг = 2 кг.

Найти ускорение о, с которым движется брусок, и силу натяже¬

ния каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.

2.6. Наклонная плоскость, образующая угол а,= 25° с плоско¬

стью горизонта, имеет длину I = 2 м. Тело, двигаясь равноуско¬

ренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить

коэффициент трения /i тела о плоскость.

2.7. Материальная точка массой m = 2кг движется под дей¬

ствием некоторой силы F согласно уравнению х = A+Bt + Ct2 +

+ Dt3, где С = 1 м/с2, D = —0,2 м/с3. Найти значения этой силы

в моменты времени t\ = 2 с и <2 = 5 с. В какой момент времени

сила равна нулю?

2.8. Молот массой m = 1 т падает с высоты h = 2 м на на-

ковальню. Длительность удара т = 0,01 с. Определить среднее

значение силы (F) удара.

2.9. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоро¬

стью VQ = 20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэффици¬

ент трения /л шайбы о лед.

2.10. Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равно¬

мерно, описывает четверть окружности радиусом г = 1,2 м в тече¬

ние времени t = 2 с. Найти изменение Ар импульса точки.

40

Гл. 1. Физические основы механики