§22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле 325

Если учесть, что максимальное значение механический момент при-нимает при а = 7г/2 (sin а = 1), а также, что pm — IS, то формула (4) примет вид

Mmax = IBS.

Отсюда, учитывая, что S = тгг2, находим

В = Мгаах(тгг2/). (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем

В ~ 104 мкТл.

Пример 4. Квадратная рамка со стороной длиной a = 2см, со¬держащая N = 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН ■ м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока / = 1А она повернулась на угол а = 60°.

Решение. Индукция В внешнего поля мо-жет быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в равновесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

VI = 0. (6)

В данном случае на рамку действуют два мо¬

мента (рис. 22.3): Mi — момент сил, с которым Р с 22 3

внешнее магнитное поле действует на рамку с то¬

ком, и М2 — момент упругих сил, возникающих при закручивании

нити, на которой рамка подвешена. Следовательно, формула (6) может

быть переписана в виде

Mi + М2 = 0.

Выразив Mi и М2 в этом равенстве через величины, от которых зависят моменты сил, получим

(7)

pm£?sina- dp — 0.

Знак минус перед моментом М2 ставится потому, что этот момент про-тивоположен по направлению моменту М\.

Если учесть, что рт = ISN = Ia?N, где I — сила тока в рамке; S = а2 — площадь рамки; iV — число ее витков, равенство (7) перепи¬шем в виде

NIa2Bsina-Ctp = O,

В =

(8)

откуда

NIa2 sin a

326

Гл.5. Электромагнетизм

Из рис. 22.3 видно, что а = 7г/2 — ip, значит, sin a = cos ip. С учетом этого равенство (8) примет вид

в =

(9)

dp

NIa2 cos tp'

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде

С = 10 • 1(Г6 Н • м/град,

так как значение угла ip также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (9) и произведем вычисления:

В =

= 0,03 Тл = 30 мТл.

10 ■ 10~6 ■ 60 (Н ■ м/град) ■ град

100 ■ 1 • (0,02)2 1/2 А - м2

Пример 5. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = = 10 см, по которому течет ток / = 100 А, свободно установился в од-нородном магнитном поле индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) tpi = 90°; 2) (f2 =3°. При повороте контура сила тока в нем поддер¬живается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механи¬ческий момент

(10)

М = pmB sin ср.

По условию задачи, в начальном положении контур свободно устано¬вился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит, ip = 0, т. е. векторы рт и В совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (10), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла ip поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

АА = Md<p. (11)

Подставив сюда выражение М по формуле (10) и учтя, что pm = IS = = la2, где / — сила тока в контуре, S = а2 — площадь контура, получим

dA = IB a2 sin (p dip.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(12)

v А = IBa2 / sin ip dip.