§ 22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Закон Ампера. Сила, действующая на элемент dl проводника с током J в магнитном поле,

F = /[dl В], или dF = IB dl sin a,

где а — угол между векторами dl и В.

В случае однородного магнитного поля и прямолинейного отрезка проводника

F /[1B] или F = IBlsina.

§ 22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле 321

• Магнитный момент контура с током

pm = nIS,

где п5 — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью п к его плоскости.

• Механический момент, действующий на контур с током,

помещенный в однородное магнитное поле,

М = [РтВ]. Модуль механического момента

М =pmB sin a,

где a — угол между векторами рт и В.

• Потенциальная (механическая) энергия контура с током

(магнитного диполя) в магнитном поле

П„ех = -PmB = -pmBcosa.

• Сила Fx, действующая на контур с током (магнитный диполь) в

неоднородном магнитном поле, обладающим осевой (вдоль оси Ох) сим¬

метрией,

дВ Fx=pm—cosa,

ев

где — величина, характеризующая степень неоднородности магнит-

ох ного поля вдоль оси Ox; a — угол между векторами рто и В.

• Магнитная индукция поля, создаваемого точечным магнитным ди¬

полем (круговым током) на оси диполя,

47Г Гл

где г — расстояние от диполя до точки, в которой определяется магнит¬ная индукция В.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. По двум параллельным прямым проводам длиной I = = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи 1=1 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает маг¬нитное поле, которое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока (обозначим их 1Х и h) текут в одном направлении.

Вычислим силу Fi,2, с которой магнитное поле, созданное током 1\, действует на проводник с током /2. Для этого проведем магнитную си-

322

Гл. 5. Электромагнетизм

ловую линию так (штриховая линия на рис. 22.1), чтобы она касалась проводника с током 1-х- По касательной к силовой линии проведем вектор

§ 22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле 323 Заметив, что 1± = /2 = / и 1-х = I, получим

t \

/,- ___i i s*1 /

А i i i i

и и

Рис. 22.1 Модуль магнитной индукпии

определяется

магнитной индукции соотношением *)

(1)

2-nd'

В, =

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током /2 длиной d/2 действует в магнитном поле сила

dFli2 = hBx Al2 sin(dbB^)-Так как отрезок dl перпендикулярен вектору Bi, то

sin(dlBO = 1 и тогда

dFi,2 = hBx dZ2- (2)

Подставив в выражение (2) Вх из (1), получим

dl.

=

2nd

Силу Fi^ взаимодействия2) проводников с током найдем интегри-рованием по всей длине второго проводника:

Vohh

2nd

2nd

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

[Мо][/2][/] 1 Гн /м (1 А? • 1 м 1 Дж

1л i 1 м

цем вычисления:

,2 = :2,5 н.

Сила Fit2 сонаправлена с силой dFj^ (рис. 22.1) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 2. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R = 10см находится в однородном магнитном поле (В = 50мТл). По проводу те¬чет ток / = 10 А. Найти силу F, дей¬ствующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение. Расположим провод в плоскости чертежа перпендикуляр-но линиям магнитной индукции (рис. 22.2) и выделим на нем малый

элемент d/ с током. На этот элемент рис 22 2

тока Idl будет действовать по закону

Ампера сила dF = /[dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изо-бражено на рис. 22.2. Силу dF представим в виде

где i и j — единичные векторы (орты); dFx и dFy — проекции вектора dF на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:

1) Длинный проводник (I S> d) можно приближенно рассматривать как бес¬

конечно длинный.

2) По третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый проводник

со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположна ей по

направлению.

= \fdFx+jfdFy,

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

324

Гл. 5. Электромагнетизм

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю ljAFx = О J. Тогда

F=jJdFy. (3)

L

Из рис. 22.2 следует, что

AFy = AF cos a,

где AF — модуль вектора dF {AF = IBAl sin (dlB)). Так как вектор dl перпендикулярен вектору В (sin(dlB) = lj, то dF = IBAl. Выразив длину дуги d/ через радиус R и угол а, получим

AF = IBRAa.

Тогда

AFy = IBRcosaAa.

Введем AFy под интеграл соотношения (3) и проинтегрируем в пределах от —я/2 до +7г/2 (как это следует из рис. 22.2):

/

=jIBR I cos a Aa = 2jlВR.

-7Г/2

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положи-тельным направлением оси Оу (единичным вектором j). Найдем модуль силы F:

F = |F| = 2IBR.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

[I][B][R] = 1А-1Тп-1м=1А- 1H"lM ■ 1 м = 1 Н.

1 А • (1 м)

Произведем вычисления:

F = 0,1 Н.

Пример 3. На проволочный виток радиусом г = 10см, помещен¬ный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент Мтах = 6,5 мкН. Сила тока / в витке равна 2 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием маг¬нитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

(4)

М = pmBsma.