§ 21. Магнитное поле постоянного тока

Пример 4. Длинный провод с током / = 50 А изогнут под углом a = 2тг/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 21.5). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длин¬ных провода, концы которых соединены в точке О. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций Bi и

Но г — величина переменная, зависящая от а и равная г = . Под-

sin a

ставив г в предыдущую формулу, найдем

(7)

АВ = sin a da.

4ят0

Чтобы определить магнитную индукпию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (7) в пределах от ai до а2:

Рис. 21.5

Рис. 21.06

Q2

Но I 4ят0

AB =

sin a da =

/ sin a da,

или

(8)

В = (cosai - cosa2).

4тгг0

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosa2 = — cosa^. С учетом этого формула (8) при-мет вид

(9)

Вг полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и £, т. е. В = = Bi + Вг- Магнитная индукция Вг равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси про-водника, dB = 0 ([dlr] = 0).

Магнитную индукцию Bi найдем, воспользовавшись формулой (8), полученной в примере 3:

В =

(cosai - cosa2),

где го — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис. 21.6). В нашем случае ai -* 0 (проводник длинный; cosai = 1), аг = = а = 2тг/3 (cosа2 = cos(2тг/3) = -1/2). Расстояние r0 = dsin(тг -a) = = dsin(7r/3)= dy/3/2. Тогда магнитная индукция

1/2

Из рис. 21.4 следует cosai = .

/

выражение cosai в формулу (9), получим

I

= . Подставив

(10)

Так как В = Bi (B2 = 0), то

В =

Подставим числовые значения в формулу (10) и произведем вычи-сления:

4тг • Ю-7 • 30

0,6

В =

н

А -м

-5

(Гн/м) • А • м

2 - ж ■ 0,2 ^/4^(0,2)2 + (0,6)2 м2

= 2,49 ■ 10

= 24,9 мкТл.

Вектор В сонаправлен с вектором Вх и определяется правилом пра¬вого винта. На рис. 21.6 это направление отмечено значком х (перпен¬дикулярно плоскости чертежа от нас).

Проверка единиц аналогична выполненной в примере 1.

Произведем вычисления:

в = л/3-4*. ИГ7-50 (Гн/м)-А я 346 1()_5 Тл = 346 мкТл

47г • 5 • 10~2 м

20 Зак. 237

314

Гл. 5. Электромагнетизм

§ 21. Магнитное ладе постоянного тока

315

Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10см течет ток / = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равноуда¬ленной от всех точек кольца на расстояние г = 20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Сава-

ра-Лапласа:

где dB — магнитная индукция поля, со-здаваемого элементом тока /dl в точке, определяемой радиусом-вектором г.

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 21.7). Вектор dB направим в соот-ветствии с правилом буравчика.

i?i- точке Л определяется интегралом

Согласно принципу суперпозиции маг-нитных полей, магнитная индукция В в А

В =

Рис. 21.7

где интегрирование ведется по всем эле-ментам dl кольпа.

Разложим вектор dB на две составляющие: dBx — перпендикуляр¬ную плоскости кольца и dB|j — параллельную плоскости кольца, т.е.

dB = dBx + dB,|. Тогда В = /dBx + /dB,,.

L L

Заметив, что /dB|| = 0 из соображений симметрии и что векторы

L

dBx от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное сум-мирование (интегрирование) скалярным:

В =

где dB± = dBcosfi и dB = — (поскольку dl перпендикулярен г и,

следовательно, sin a = 1). Таким образом,

2тгЯ

4тгг2

о

После сокращения на 2тг и замены cos/З на R/r (рис. 21.7) получим

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления: „ 4тг ■ 10~7 • 80 • (0,1)2 (Гн/м) • А • м2

2 • (0,2)3

= 6,28 • 10~& Тл,

или В — 62,8 мкТл.

Вектор В направлен по оси кольца (штриховая стрелка на рис. 21.7) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 21.8. Радиус дуги окружности R = 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током / = 80 А, текущим по этому проводнику.

3

Рис. 21.9

Рис. 21.8

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В = $^В». В нашем случае проводник можно разбить на три части (рис. 21.9): два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

В = Bi + Вг + Вз,

где Bi, Вг и Вз — магнитные индукпии поля в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В± = 0 и тогда

В = В2+В3.

Учитывая, что векторы Вг и Вз направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В2+В3.

Магнитную индукцию поля В2 можно найти, используя выражение для магнитной индукции в центре кругового проводника с током /:

в =

20*

В =

2Д'

316

Гл.5. Электромагнетизм