§ 2. Динамика материальной точки и тела

35

Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус:

2,5-6-1,5-2

u= ; =зм/с

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по фор-мулам

\ l ( m2)u1

Произведя вычисления по этим формулам, получим

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показы-вает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энер¬гия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на, увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения

Подставив это выражение tt2 в равенство (11), получим

тп2

W —

+ m2)J (mi+m2)2

Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.

Пример 8. Молот массой mi = 200кг падает на поковку, масса т2 которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость vi молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию 7i молота в момент удара; 2) энергию Т2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, за¬траченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия J] (к.п.д.) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий.

Решение. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле 7\ = miVi/2. Подставив значения тгц и v\ и произведя вычисления, получим

7\ = 400 Дж.

2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предвари-тельно найдем скорость системы молот-поковка (с наковальней) непо-средственно после удара. Для этого применим закон сохранения им¬пульса, который в случае неупругого удара двух тел выражается форму-

лой

= 0,62.

m2)u,

(12)

Пример 7. Шар массой тгц, движущийся горизонтально с некото¬рой скоростью Vi, столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю w своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, вы¬разится соотношением

(И)

_ ^ _

ТГЦ

w ~ J\ ~

где 7\ — кинетическая энергия первого шара до удара; и2 и Т2 — ско¬рость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из выражения (11), для определения w надо найти tt2. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.

По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем tn\v\ = m\U\ +m2u2. По закону сохранения энергии в механике rmv2/2 = m\u\/2 4- m2u2/2. Решая совместно два последних уравнения, найдем

+тп2

где V2 — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и — скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара. Так как поковка с наковальней до удара находилась в состоянии покоя, то v2 = 0. При неупругом ударе деформация не восстанавли¬вается, вследствие чего молот и поковка (с наковальней) движутся как одно целое, т.е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (12) найдем эту скорость:

и =

(13)

тгц

mi + m2

В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молот-поковка (с на-ковальней), передается фундаменту. Эту энергию находим по формуле Т2 = (mi + m2)u2/2. Заменим скорость и ее выражением (13):

Г,.

(14)

2(mi + m2)' или, учитывая, что 7\ = тц,2/2, запишем

mi +m2

36

Гл. 1. Физические основы механики