§ 19. Основные законы постоянного тока

291

Отсюда получаем

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением

обхода контуров, то соответствуюшее произведение IR входит в урав¬

нение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в

уравнение со знаком минус;

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е.

если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри

источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс,

в противном случае — со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров ARiBR2A, ARiBR3A, AR3BRiA:

(8)

i — /2-R2 — £1 — £2,

I3R3 + hRi = 0.

(10)

Подставив в равенства (8)-(10) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

/1+/2+/3-/4=0,

2Д - 4/3 = 10, 4/з + 2/4 = 0.

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем урав-нения еще раз в следующем виде:

/i + /2 + /3 - /4 = 0,

2Л + 0 - 4/3 + 0 = 10, 0 + 0 + 4/3 + 2/4 = 0.

Искомые значения токов найдем из выражений

10 1-1

= 0;

2 6 0 0

2 10 -4 0

0 0 4 2

= -96.

Д/. =

110-1 2-460 2 0 10 0 0 0 0 2

= 0, /3 = -1

Знак минус у значения силы тока 13 свидетельствует о том, что при

произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, на¬

правление тока /з было указано противоположно

истинному. На самом деле ток /з течет от узла

В к узлу A. j А

О 1

Л с

Пример 4. Сила тока в проводнике сопро¬

тивлением R = 200м нарастает в течение вре¬

мени At = 2 с по линейному закону от /о = 0

До /max = 6 А (рис. 19.3). Определить количе¬

ство теплоты Qi, выделившееся в этом провод¬

нике за первую секунду, и Q2 — за вторую, а

также найти отношение этих количеств теплоты

Ц2Щ\- Рис 19 3

Решение. Закон Джоуля-Ленца Q = I2Rt применим в случае постоянного тока (/ = const).

Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон спра¬ведлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

(И)

dQ = I2Rdt.

Здесь сила тока / является некоторой функцией времени. В нашем слу¬чае

= kt,

(12)

где Д — определитель системы уравнений; Д/2 и Д/3-— определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя Д столб-цами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений. Находим:

где к — коэффициент пропорциональности, равный отношению прира-щения силы тока к интервалу времени, за который произошло это при-ращение:

Д =

111-1

2-400 2 0-40 0 0 4 2

= 96;

С учетом равенства (12) формула (11) примет вид

dQ = k2Rt2dt.

(13)

292

Гл. 4. Постоянный электрический ток

§ 19. Основные законы постоянного тока

293

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени At, выражение (13) следует проинтегрировать в пределах от t\ до t%:

19.6. Проволочный куб составлен из проводников. Сопроти¬вление Ri каждого проводника, составляющего ребро куба, равно

Q = k2R f t2 dt = h2R(t32 - tj).

/

7 /

7

При определении количества теплоты, вьщелившегося за первую секунду, пределы интегрирования t% = Ос, t2 — 1с и, следовательно,

Qi = 60 Дж, а за вторую секунду — пределы интегрирования t\ = 1 с, t2 = 2 с и тогда

Q2 = 420 Дж. Следовательно,

9

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.

ЗАДАЧИ

Закон Ома для участка цепи

19.1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от IQ = 0

до / = ЗА в течение времени t — 10с. Определить заряд Q,

прошедший в проводнике.

19.2. Определить плотность тока j в железном проводнике дли¬

ной I = 10 м, если провод находится под напряжением U = 6 В.

19.3. Напряжение U на шинах электростанции равно 6,6 кВ.

Потребитель находится на расстоянии I = 10 км. Определить

площадь 5 сечения медного провода, который следует взять для

устройства двухпроводной линии передачи, если сила тока / в

линии равна 20 А и потери напряжения в проводах не должны

превышать 3%.

19.4. Вычислить сопротивление R графитового проводника, из¬

готовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой

h = 20 см и радиусами оснований г\ = 12 мм и г?. = 8 мм. Темпе¬

ратура t проводника равна 20°С.

19.5. На одном конце цилиндрического медного проводника со¬

противлением RQ — 100м (при 0°С) поддерживается температура

t\ = 20°С, на другом <г = 400°С. Найти сопротивление R про¬

водника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным.

a 6 в

Рис. 19.4

1 Ом. Вычислить сопротивление R этого куба, если он включен в электрическую цепь, как показано на рис. 19.4а.

19.7. То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как

показано на рис. 19.46.

19.8. То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как

показано на рис. 19.4в.

19.9. Катушка и амперметр соединены последовательно и при¬

соединены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен

вольтметр сопротивлением RB = 1к0м. Показания амперметра

/ = 0,5 А, вольтметра U = 100 В. Определить сопротивление R

катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления

катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивления

вольтметра?

19.10. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до

/ = 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот

амперметр без шунта, если сопротивление i?a амперметра равно

0,02 Ом и сопротивление Лш шунта равно 5 мОм?

19.11. Какая из схем, изображенных на рис. 19.5а, б, более

пригодна для измерения больших сопротивлений и какая — для

измерения малых сопротивлений? Вычислить погрешность, до-

R\

Рис. 19.5

пускаемую при измерении с помощью этих схем сопротивлений Ri = 1 кОм и i?2 = Ю Ом. Принять сопротивления вольтметра RB и амперметра i?a соответственно равными 5 кОм и 2 Ом.

294

Гл. 4. Постоянный электрический ток