§ 18. Энергия заряженного проводника

281

Решение. Объемная плотность энергии поля конденсатора

(7)

W

V1

w =

где XV — энергия поля конденсатора; V — объем, занимаемый полем, т.е. объем пространства, заключенного между пластинами конденса¬тора.

Энергия поля конденсатора определяется по формуле

W =

(8)

CU2 2 '

следова-

Е — напряженность поля. В нашем случае Е = и,

4тге0ег2 тельно,

Q2 W 32тг2еоег4'

Подставив это выражение плотности в формулу (9) и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим

[ *r_ J г2

R+d

Q2

Q2d

w_

( _

8тгеое

)

8тгеое \R R + d) 8ireoeR(R +d)'

где U — разность потенциалов, до которой заряжены пластины конден-сатора; С — его электроемкость. Но С = ee0S/d, V = Sd. Подставив

выражение С в формулу (8) и затем выра-жения W и V в формулу (7), получим

ee0U2

Подставив значения величин в послед-нюю формулу и вычислив, найдем

w = 0,309 Дж/м3.

Рис. 18.1

Пример 4. Металлический шар ра-диусом R = Зсм несет заряд Q ~ 20нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d = = 2 см. Определить энергию W электри-ческого поля, заключенного в слое диэлек-трика.

Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена нерав-номерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

где w — объемная плотность энергии (рис. 18.1). Полная энергия выразится интегралом

Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV:

R+d

= 4тг / wr2 dr,

-I

w dV

W

(9)

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

W = 12 мкДж.

Пример 5. Определить собственную потенциальную энергию П электростатического поля, которой обладает шар радиуса R = Зсм, не-сущий равномерно распределенный по объему заряд Q = 5 нКл.

Решение. Собственная потенциальная энергия равномерно заря-женного по объему шара равна работе А внешних сил, которую нужно совершить, «собирая» шар из дифференциально малых порций зарядов dq, перенося их из бесконечности.

Пусть шар уже имеет некоторый заряд q и радиус г. Потенциал поверхности такого шара

q

w = .

4neor

Для присоединения заряда dq необходимо совершить работу

Эта работа равна приращению собственной потенциальной энергии dll = А,„.сИл = ipdq =

Будем считать, что заряд dq равномерно распределяется по поверхности шара радиуса г. Тогда

dq = p dV = pS dr = 4тгг2/э dr,

где р — объемная плотность заряда; dV — объем сферического слоя. Тогда

4тгеог 3 е0

где г — радиус элементарного сферического слоя; dr — его толщина. Объемная плотность энергии определяется по формуле w — EQEE2/2, где

18 Зак. 237

282

Гл.З. Электростатика

§ 18. Энергия заряженного проводника

283

Проинтегрируем это выражение в пределах от 0 до R:

R

Q 2 Q2

Р- !л /оч-ва и Р ~

Так как

(4/3)тгД3

(4тг/3)2Д6'

то

, или П = —

3 (4тг/3)2Д65е0 Подставим числовые значения:

3 5■10-»

П= -

9 • Ю9 Дж = 4,5 • 1(ПЬ Дж = 4,5 мкДж.

5 310

ЗАДАЧИ

Энергия плоского конденсатора

18.1. Конденсатору, электроемкость С которого равна 10 пФ,

сообщен заряд Q = 1 пКл. Определить энергию W конденсатора.

18.2. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора

равно 2см, разность потенциалов U = 6кВ. Заряд Q каждой пла¬

стины равен ЮнКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и

силу F взаимного .притяжения пластин.

18.3. Какое количество теплоты Q выделится при разряде плос¬

кого конденсатора, если разность потенциалов U между пласти¬

нами равна 15 кВ, расстояние d = 1 мм, диэлектрик — слюда и

площадь 5 каждой пластины равна 300 см2?

18.4. Сила F притяжения между пластинами плоского воздуш¬

ного конденсатора равна 50 мН. Площадь 5 каждой пластины рав¬

на 200 см2. Найти плотность энергии го поля конденсатора.

18.5. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круг¬

лых пластин радиусом г = 10 см каждая. Расстояние d\ между

пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потен¬

циалов U = 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу

А нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, уве¬

личить расстояние между ними до di — 3,5 см?

18.6. Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С =

= 1,11 нФ заряжен до разности потенциалов U = 300 В. После

отключения от источника тока расстояние между пластинами кон¬

денсатора было увеличено в пять раз. Определить: 1) разность

потенциалов U на обкладках конденсатора после их разцвижения; 2) работу А внешних сил по раздвижению пластин.

18.7. Конденсатор электроемкостью С\ = 600 пФ зарядили до

разности потенциалов U = 1,5 кВ и отключили от источника тока.

Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаря¬

женный конденсатор электроемкостью Сг = 400 пФ. Определить

энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей

при соединении конденсаторов.

18.8. Конденсаторы электроемкостями С1 = 1мкФ, Сг = 2мкФ,

Сз = ЗмкФ включены в цепь с напряжением U = 1,1 кВ. Опреде¬

лить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последователь-

ного их включения; 2) параллельного включения.

18.9. Электроемкость С плоского конденсатора равна 111 пФ.

Диэлектрик — фарфор. Конденсатор зарядили до разности потен¬

циалов U = 600 В и отключили от источника напряжения. Какую

работу А нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конден¬

сатора? Трение пренебрежимо мало.

18.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора

заполнено диэлектриком (фарфор), объем V которого равен 100 см3

Поверхностная плотность заряда о на пластинах конденсатора

равна 8,85нКл/м2. Вычислить работу Л, которую необходимо

совершить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора.

Трением диэлектрика о пластины конденсатора пренебречь.

18.11. Пластину из эбонита толщиной d = 2 мм и площадью

5 = 300 см2 поместили в однородное электрическое поле напря¬

женностью Е = 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии пер¬

пендикулярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность о

связанных зарядов на поверхности пластин; 2) энергию W элек¬

трического поля, сосредоточенную в пластине.

18.12. Пластину предыдущей задачи переместили из поля в

область пространства, где внешнее поле отсутствует. Пренебрегая

уменьшением поля в диэлектрике с течением времени, определить

энергию W электрического поля в пластине.

Энергия поля заряженной сферы

18.13. Найти энергию W уединенной сферы радиусом R = 4 см,

заряженной до потенциала (р = 500 В.

18.14. Вычислить энергию W электростатического поля метал¬

лического шара, которому сообщен заряд Q = 100 нКл, если диа¬

метр d шара равен 20 см.

18.15. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С =

= 10 пФ заряжена до потенциала <р = 3 кВ. Определить энергию W

поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и

концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой

в три раза больше радиуса сферы.

18*

284

Гл. 3. Электростатика

18.16. Электрическое поле создано заряженной (Q = ОДмкКл)

сферой радиусом R = 10 см. Какова энергия W поля, заключенная

в объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сфери¬

ческой поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса

сферы?

18.17. Уединенный металлический шар радиусом R\ = 6 см

несет заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит

пространство на две части (внутренняя конечная и внешняя бес¬

конечная), так что энергии электрического поля обеих частей оди¬

наковы. Определить радиус R% этой сферической поверхности.

18.18. Сплошной парафиновый шар радиусом R — 10 см заря-

жен равномерно по объему с объемной плотностью р = 10нКл/м .

Определить энергию W\ электрического поля, сосредоточенную в

самом шаре, и энергию W2 вне его.

18.19. Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во

сколько раз энергия электрического поля вне шара превосходит

энергию поля, сосредоточенную в шаре?

18.20*. Два шара радиусами R\ = 4 см и R% = 6 см несут равно¬мерно распределенные по объему заряды Q\ = 2 нКл и Qi = 3 нКл. Расстояние I между центрами шаров равно 20 см. Определить по¬тенциальную электростатическую энергию П такой системы с уче¬том собственной потенциальной энергии заряженных шаров.

18.21*. После того, как на проводящую сферу радиуса R = 10см и массой m = Юг поместили заряд Q = ЗмкКл, сфера под действием электростатических сил отталкивания разорвалась на большое число осколков одинаковой массы. Определить макси¬мальную скорость vmax, которую может приобрести любой из этих осколков.