§ 18. Энергия заряженного проводника

где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциа¬лов на его пластинах.

• Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, прихо-дящаяся на единицу объема)

w = -еоеЕ2 = -ED,

где Е — напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью е; D — электрическое смещение.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Конденсатор электроемкостью С\ = ЗмкФ был заряжен до разности потенциалов U\ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конден-сатором электроемкостью Сг = 5мкФ. Определить энергию AW, из-расходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна

(1)

AW = Wi- W2,

где W\ — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоедине¬ния к нему второго конденсатора; Wi — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Подставив в равенство (1) формулу энергии заряженного конденсатора W = CU2 /2 и приняв во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных кон-денсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, по-лучим'

17.25. Пять различных конденсаторов соединены согласно схе¬ме, приведенной на рис. 17.6. Определить электроемкость d, при которой электроемкость всего соединения не зависит от величины электроемкости Сь- Принять С\ = 8пФ, Сг = 12 пФ, Сз = 6пФ.

§ 18. Энергия заряженного проводника. Энергия электрического поля

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, по-тенциал <р и электрическую емкость С проводника следующими соотно-шениями:

AW =

(2)

(С1+С2)Щ 2'

где С\ и Сг — электроемкости первого и второго конденсаторов; V\ — разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; 1?2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора ос-тался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

U2 = -р. тг — т; 7Г- Подставив это выражение U2 в формулу (2),

Ci + С2 Ci + С2

получим

AW =

После простых преобразований найдем

* (C1+C2)C?Uj 2(Ci+C2)2 "

• Энергия заряженного конденсатора

Выполнив вычисления по этой формуле, получим AW = 1,5 мДж.

278

Гл. 3. Электростатика

§ 18. Энергия заряженного проводники.

279

Пример 2. Плоский воздушный конденсатор с площадью 5 пла¬стины, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС £ которого равна 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пла¬стин от расстояния di — 1см до d2 = Зсм в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в про¬цессе раздвижения остаются подключенными к нему.

Решение. 1-й случай. Систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную си¬стему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:

(3)

A = AW = W2-Wi,

где W2 — энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины находятся на расстоянии d2); Wi — энергия поля в начальном состоянии

(пластины находятся на расстоянии di).

Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пла-стинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раз-движении, не изменяется. Подставив в равенство (3) выражения W2 = = Q2/(2C2) uWi= Q2/(2Ci), получим

1

Q2 Q2

2-й случай. Пластины остаются подключенными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной (заряд с пла¬стин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Поэтому воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.

Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора: а) разность их потенциалов остается неизменной (U = £); б) емкость будет умень¬шаться I С = £0 — ). Будут уменьшаться также заряд на пластинах

(Q = CU) и напряженность электрического поля (Е = U/d). Так как величины Е и Q, необходимые для определения работы, изменяются, то работу следует вычислять путем интегрирования. Напишем выражение для элементарной работы:

dx,

(6)

dA =

где Ei — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины.

Выразим напряженность поля Ei и заряд Q через расстояние х между пластинами:

Ei = \Е = £- и Q = С£, или Q = ЕО-£.

2 2х х

Подставив эти выражения Ei и Q в равенство (6), получим

Выразив в этой формуле заряд через ЭДС £ источника тока и началь¬ную электроемкость Ci (Q = С\£), найдем

± Су

Проинтегрировав это равенство в пределах от di до d2, найдем вы-ражение искомой работы:

л_

Подставляя в формулу (4) выражения электроемкостей {С\ = и С2 = eoS/d2) плоского конденсатора, получим

Г* ь

1d\ \e0S

После сокращения на EoS формула примет вид

E0S£2,

А =

(5)

2d\

-№-*)■

Произведя вычисления по формуле (5), найдем 8,85 • Ю-12 - 500 • 10~4 - 3002,

А =

2(1 • Ю-2)2

(3-1)10^ Дж =

= 3,98 • 10~6 Дж = 3,98 мкДж.

л 'set Ц =

di d2)

2 J х2 2

После упрощений последняя формула примет вид

1 S£2

Сделав вычисления по полученной формуле, найдем А = 1,33 мкДж.

Пример 3. Плоский конденсатор заряжен до разности потенпиалов U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик — стекло. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

280

Гл. 3. Электростатика