§ 2. Динамика материальной точки и тела

33

Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса 5) (количества движения). Так как, по условию задачи система человек-лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по за¬кону сохранения импульса получим Mv — mu = 0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда v = тпи/М.

Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т.е. t = S\/u = (L — s)/u, где s\ — перемещение человека отно¬сительно берега.

Подставив полученные выражения v и t в формулу (9), найдем

тп

mu L — s

жести6) системы. Применяя это следствие к системе человек-лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр тяже¬сти системы не изменит своего положения, т.е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр тяжести системы человек-лодка находится на верти¬кали, проходящей в начальный момент через точку С\ лодки (рис. 2.6), а после перемещения лодки — через другую ее точку С2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вер¬тикали. А это последнее легко определить по перемещению центра тяже¬сти О лодки. Как видно из рис. 2.6, в начальный момент точка О нахо¬дится слева от вертикали на расстоянии а\, а после перехода человека — на расстоянии а2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки

откуда

mL

тп + М'

Заметим, что предположение о равномерности движения человека не является обязательным. В приведенном ниже более общем способе ре-шения задачи такое предположение не используется.

2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра тя-

const

(10)

s = ay + а2.

Для определения at и а2 воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки С\ имеем Мда\ = mg(l — a,i), где I — первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим аг = = ml/(M + тп). Для точки Сг имеем Мда2 = тпд(Ь — a2 — I), откуда a2 = m(L - /)/(М + тп).

Подставив выражения ai и а2 в формулу (10), получим

s =

mL

М + тп'

что совпадает с результатом, полученным 1-м способом.

Пример 6. Два шара массами тп\ = 2,5кг и т2 = 1,5кг движутся навстречу друг другу со скоростями v\ = 6 м/с и v2 = 2 м/с. Определить: 1) скорость п шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров 7\ до и Т2 после удара; 3) долю кинетической энергии w шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, от-талкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

= (mi + m2)u,

откуда

и =

Рис. 2.6

5) В данном случае систему человек-лодка можно считать замкнутой, так как векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

6) Точнее было бы говорить о центре масс (центре инерции системы). Но в том случае, когда система твердых тел находится в однородном поле силы тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают.

34

Гл. 1. Физические основы механики