§ 1. Кинематика

Ускорение

dv .

а = — = шх + jay + kaz,

dvx dvy dvz

где ax = -7—; Oy = —-f-; a2 = — проекции ускорения a на оси

at at at

координат.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сум¬му нормальной а„ и тангенциальной аг составляющих (рис. 1.1):

а = ап+а,.. Модули этих ускорений:

v2 dv

Рис. 1.1

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематические уравнения прямолинейного равномерного (v = = const) движения:

а) в векторной форме

r(t) = го + vt,

где г(4) — радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t; го — радиус-вектор, определяющий положение ма-териальной точки в начальный момент времени (t = 0);

б) в координатной форме (в проекции на координатные оси Ох,

Оу, Ох)

= zo+vzt,

x(t) = х0 + vxt; y(t) = j/o + vyt;

где xo, j/o, ZQ — начальные координаты; vx, vy, vz — проекции скорости на координатные оси.

• Кинематические уравнения прямолинейного равноускоренного (а = = const) движения:

а) в векторной форме

at2 r(t) = го + vot + —,

где Vo — начальная скорость (скорость материальной точки в момент времени t = 0);

б) в координатной форме

|

x(t) =хо + vOxt

; y(t) = yo + vOyt

^

где vOx, vOy, vOz — проекции начальной скорости на координатные оси; ах, ау, аг — проекции ускорения.

• Скорость точки при равноускоренном движении:

а) в векторной форме

v(t) = vo + at;

б) в координатной форме

vx(t) = vOx +axt; vy(t) = vOy + ayt; vz{t) = VQZ + azt,

• Положение твердого тела (или материальной точки) при заданной

оси вращения определяется угловым перемещением (углом поворота)

где 5 — путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R. При дифференциально малом угловом перемещении его можно рассматри¬вать как вектор dcp, направление которого совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта. • Средняя угловая скорость

где Aip — угловое перемещение за время At. • Мгновенная угловая скорость

dt'

dy>

dw df '

dw df"'

в проекции на ось вращения

U) =

Угловое ускорение

£ —

в проекции на ось вращения

Е —

• Кинематическое уравнение равномерного (LJ = const) вращения в проекции на ось вращения

где <ро — начальное угловое перемещение

10

Гл. 1. Физические основы механики

§ 1. Кинематика

11

Частота вращения

N 1

п = — или п = -,

где N — число оборотов, совершаемое телом за время t; T — период вращения (время одного полного оборота).

Угловое перемещение <р и угловая скорость w связаны с числом обо-ротов, частотой вращения и периодом вращения соотношениями

2тг

= 2ITN; и = 2тттг;

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид х = А + Bt + Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/с, С = —0,5 м/с3. Для момента времени t% = 2с определить: 1) координату Xi точки; 2) мгновенную скорость i»i; 3) мгновенное уско¬рение Oi-

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинемати¬ческое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t\:

• Кинематическое уравнение равноускоренного вращения в проекции на ось вращения

—,

где u)0 — начальная угловая скорость.

Угловая скорость при равноускоренном вращении

et.

ui{t) =

Число оборотов N связано со средней частотой (п) вращения соотно-шением

N = (n)t.

При равноускоренном вращении (тг) есть полусумма начальной по и конечной п мгновенными частотами вращения

, по +п

• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризую¬щими вращение материальной точки, выражается следующими форму¬лами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиуса R,

s = ipR [ip — угол поворота тела); скорость точки (линейная)

v = wR; v = [wR]; ускорение точки

aT = eR; aT =■ [eR] (тангенциальное);

а„ = LJ2R\ an = —o;2R (нормальное).

Подставим в это выражение значения А, В, С, U и произведем вычи¬сления:

xi = 4 + 2 ■ 2 - 0,5 • 23 = 4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем,

dx продифференцировав координату х по времени: v = — = В + 3Ct2.

at Тогда в заданный момент времени t\ мгновенная скорость

Ы = В + 2,Ct\.

Подставим сюда значения В, С, t% и произведем вычисления:

vi = —4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени ti —2с точка дви¬жется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем,

d2x dv взяв вторую производную от координаты х по времени: а = -г-г- = —- =

at* at = 6Ct. Мгновенное ускорение в заданный момент времени t\ равно

Подставим значения С, t\ и произведем вычисления:

П! = -6 ■ 0,5 ■ 2 = -6 м/с2.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпа-дает с отрицательным направлением координатной оси, причем в усло-виях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x(t) — А + Bt + Ct2, где А = 5м, В = 4м/с, С = —1м/с2. 1. Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость (vx) за интервал времени от t\ = 1 с до t2 = 6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость (и) за тот жо интервал времени.

12

Гл. 1. Физические основы механики