Строгим методом

и о	Кути повороту (ліві) (3	Дирекцій-ні кути ОС	Виміряні довжини S, м	Зрівнова­жені довжини S3e,M	Прирости координат (наближені)		Зрівноважені прирости координат
	О 1 II	О t Н			Ах = S cos a	Ду = 5е sin а	S„cosa,	SMsmae
і	2	3	4	5	6	7	8	9
37
		10138 46
	-2
38	104 12 45
	+6,5	+6,5	-2,8
	-2	25 51 29	423,678	423,6752	+381,258	+184,784	+381,249	+184,795
98	18132 13
	+4,3	+10,8	2.5
	-2	27 23 40	366,123	366,1205	+325,066	+168,458	+325,055	+168,474
99	174 18 00
	+2,4	+ 13,2	-2,8
	-2	2141 38	412,725	412,7222	+383,493	+152,563	+383,481	+152,586
100	188 17 49
	+0.3	+13,5	-1,7
	-2	29 59 25	248,645	248,6433	+215,354	+124,286	+215,344	+124,299
101	173 28 42
	-1.0	+12,5	-1,4
	-2	23 28 05	207,548	207,5466	+190,380	+82,653	+190,374	+82,664
102	180 02 40
	-2,0	+10,5	-1,1
	-2	23 30 43	156,267	156,2659	+143,293	+62,341	+143,289	+62,348

303

Розділ II

						Продовження табл. II. 8.3
1	2	3	4	5	6	1	8	9
103	184 15 11
	-2,8	■+■7,7	-1,0
	-3	27 45 52	138,117	138,1160	+122,216	+64,478	+122,213	+64,482
104	178 42 31
	-3.6	+4.1	-0,7
	-3	26 28 20	107,485	107,4843	+96,215	+47,913	+96,213	+47,915
40	123 08 12
	4,1	0.0
		329 36 29
41

Кінцеві (точні) координати									Формули допоміжного обчислення
хт	YT
10	11	12		13		14		15
+212,421	+7835,154	0		-1262		1592644
+593,670	+8109,949	+424		-838		702244
+908,725	+8188,423	+790		^68		219024
+1302,206	+8341,099	+1203		-59		3481
+1517,550	+8465,308	+1451		+189		35721
+1707,924	+8547,972	+1659		+397		157609
+1851,213	+8610,320	+1815		+553		305809

304

Планові геодезичні мережі

Закінчення табл. II.8.3

10	11	12	13	14
+1973,426	+8674,802	+1953	+691	477481
+2069,639	+8722,717	+2060	+799	638401

11.8.9. Суть параметричного методу зрівноваження геодезичних мереж

Рис. 11.8.6. До пояснення суті зрівноваження лінійної засічки параметричним методом

Суть такого зрівноваження розглянемо на прикладі багаторазової лінійної засічки (рис. ІІ.8.6). Нехай 1, 2, 3 та 4 - вихідні пункти, тобто пункти з відомими координатами X_t ,Y_t. Ці пункти не отримають поправок у результаті зрівноваження. Для визначення координат точки Р виміряні довжини ліній d_x, d₂, d₃,d₄. Відомі також середні квадратичні похибки вимірів цих ліній т_і (і= 1, 2, 3, 4). Кінцеве завдання - визначити найімовірніші значення координат пункту Р (Xp,Y_P).

305

Розділ II

Під час параметричного зрівноваження параметрами зазвичай приймають саме координати пунктів, які потрібно визначити. Отже, у нас це Х_Р та Y_P. Проте для визначення координат пункту Р достатньо виміряти дві віддалі, на­приклад, d_x та d₂ . Отже, в нашому прикладі два надлишкові виміри с/₃ та d₄.

Зв'язок виміряних віддалей з координатами пункту Р можна записати в такому вигляді:

d_i = Щ -Х_Р)²+ & - Y_P)²]^1/2 . (П.8.69)

Таких рівнянь відповідно до рис. П.8.6 можна записати чотири. Оскільки

невідомих величин тільки дві -Х_Р та Y_P, то задача має шість розв'язків.

Справді, можливі шість комбінацій по дві лінії. Тому отримаємо по шість

значень Х_Р та Y_P.

Потім достатньо визначити середнє вагове з них. Проте зрівноваження виконується іншим способом: за двома довільними лініями знаходять наб­лижене значення координат Х_Р t&Y_p, а потім визначають найімовірніші поправки до наближених координат. Розглянемо цей метод детальніше.

У загальному вигляді (під час зрівноваження деякої кількості t пара­метрів) вираз (П.8.69) запишеться так:

(П.8.70)

де T_t - зрівноважені значення шуканих параметрів (координат); dj-зрівноважені значення виміряних величин (у нашому випадку ліній).

Рівняння системи (П.8.70) називають параметричними рівняннями зв'язку.

Замінивши зрівноважені значення d_i на виміряні d_t з шуканими поправ­ками V,, матимемо:

d,=d,+V,. (II.8.71)

Далі із системи (П.8.70) та (П.8.71) знайдемо формули для визначення поправок v_;-:

У!=вд,г₂,...,7;)-4

v₂=F₂(T_l,T₂,...,T_t)-d₂

(П.8.72)

306

Планові геодезичні мережі

Рівняння (ІІ.8.72) називають рівняннями поправок у загальному вигляді. Задача зрівноваження складається із знаходження поправок v_;- (/= 1, 2,

..., п) та параметрів

Для розв'язання системи (ІІ.8.72) приведемо функції F_t до лінійного вигляду, розклавши їх у ряд Тейлора, обмежившись першими членами розкладу. Це можливо, якщо попередньо відомі наближені значення параметрів

Ті . У нашому прикладі, як уже відзначалося, за наближені значення пара­метрів можна прийняти значення координат, визначені за однією парою виміряних віддалей. Тоді:

(ІІ.8.73) Позначимо часткові похідні

Тоді отримаємо систему (II.8.72) в лінійному вигляді:

(И.8.74) Оскільки відомі значення виміряних величин d_t та наближені значення

параметрів , тобто відомі функції то, останні два члени

рівняння (П.8.74) приймемо як вільні члени:

(П.8.75)

Підставивши вирази (П.8.74) та (П.8.75) в (ІІ.8.72), одержимо парамет­ричні рівняння поправок у лінійному вигляді:

V] = aj87j + 6,5Г₂ + ■•• + t_xbT_t +/,з вагою Р_х

V-, =а-,8Т, + Ь-,ЬТ-, +... + ґт8Г, +U звагою В,

(II. 8.76)

v„ = а„57] + Ь„ЬТ₂ +... + t_nbT_t + /„ з вагою Р_п Як відомо, істинна похибка вимірювання А_; характеризується тією самою вагою, що й результат вимірювання, тільки поправка v, = -А,, тому можна вва­жати, що будь-яка поправка V, в системі рівнянь (П.8.76) має вагу, яка дорівнює вазі відповідного виміру d,, який знаходять за формулою

307

Розділ II

Р^/щ², (ІІ.8.77)

де \і - середня квадратична похибка одиниці ваги; щ— середня квадратична похибка результатів вимірювання.

Проте система (II.8.76) має нескінченну множину розв'язків, оскільки маємо п рівнянь та (n+t) невідомих. Тому застосуємо принцип найменших квадратів і позначимо

(ІІ.8.78)

Для визначення мінімуму функції Ф необхідно знайти похідні цієї функції за всіма аргументами v_;, тобто за 8Г , та прирівняти їх до нуля.

Часткова похідна функції Ф за першим параметром 87J буде мати вигляд:

(П.8.79)

Звідси отримаємо

(П.8.80)

Далі визначимо часткову похідну функції Ф за другим параметром ЬТ₂ :

(П.8.81)

За аналогією знайдемо часткові похідні за всіма параметрами 8Tj, та, ввівши позначення Гаусса, запишемо:

(II. 8.82)

Система (II.8.82) є системою нормальних рівнянь розміром txt, симет­ричною щодо діагоналі D D'. На цій діагоналі розташовані квадратичні кое­фіцієнти, які завжди додатні. Неквадратичні коефіцієнти розміщені симетрично відносно головної діагоналі.

308

Планові геодезичні мережі

Розв'язавши систему нормальних рівнянь (ІІ.8.82), знайдемо поправки 5Г до попередніх (наближених) значень шуканих параметрів та отримаємо

зрівноважені значення параметрів (координат). Потім знайдені значення 5Tj підставимо в систему рівнянь поправок (ІІ.8.76). Визначимо поправки у виміряні величини d_i і, нарешті, знайдемо зрівноважені значення довжин d_i за (ІІ.8.71).

11.9. Зрівноваження полігонометричних мереж

11.9.1. Зрівноваження полігонометричної мережі, що збігаються в одну вузлову точку

Найпростішою полігонометричною мережею є мережа із трьох ходів, що сходяться в одну вузлову точку. Раніше була розглянута висотна мережа, яка також складалася із трьох нівелірних ходів, що збігались в одну вузлову точку. Проте раніше ми визначали зрівноважене значення висоти вузлової точки. У цьому випадку ми повинні визначити зрівноважені значення координат вузлової точки.

Рис. 11.9.1. Схема полігонометричної мережі із трьох ходів, що збігаються в одну вузлову точку

В основу такого зрівноваження, як у разі визначення висот, так і у разі визначення координат вузлової точки чи дирекційних кутів ліній, що виходять із цієї точки, покладено ваги ходів. Проте зрівноваження полігонометричних мереж має певні особливості, й ми детально його розглянемо.

309

Розділ II

До того ж зауважимо, що на виробництві зрівноважують полігоно-метричні мережі окремо (окремо кути, окремо прирости координат), тобто використовують наближені методи. Тільки для зрівноваження окремих ходів застосовують строгі методи. Якоюсь мірою це правильно, оскільки координати вузлових точок визначають як середні вагові, тобто як зрівноважені.

Нехай маємо полігонометричну мережу, зображену на рис. П.9.1. Формули для визначення ваг дирекційних кутів та приростів координат записані на рисунку. Зрівноваження будемо виконувати у такій послідовності:

1. Спочатку визначимо середнє вагове значення дирекційного кута однієї з ліній, що виходить із вузлової точки М . Візьмемо лінію MN і визначатимемо

її дирекційний кут . Ваги дирекційних кутів Ра. обернено пропорційні

до кількості кутів (у ході). Врахуємо, що в ходах вимірювались ліві кути, і крім того, для ходу 1 кількість кутів дорівнює «] +1 («j - кількість ліній цього ходу);

межуючий кут цього ходу Pj. Для ходу 2 визначається не , а

(обернений дирекційний кут); під час визначення останнім вико-

ристовується кут Р₃> ДО^{51 Х}°ДУ 2 кількість кутів дорівнює кількості ліній п_г цього ходу. Для ходу 3 межуючим є сумарний кут, що дорівнює . Отже,

середнє вагове значення дирекційного кута визначимо за формулою

(П.9.1)

2. Знайдемо кутові нев'язки ходів

(ІІ.9.2)

3. Виміряні кути Р, виправляються поправками. Суми поправок у кути

будь-якого ходу повинні дорівнювати нев'язці цього ходу, взятій з оберненим знаком:

310

Планові геодезичні мережі

4. Переходимо до зрівноваження координат. Розглянемо зрівноваження тільки абсцис. Зрівноваження ординат виконується аналогічно. Знайдемо середнє вагове значення абсциси точки М. Ваги ходів обернено пропорційні до довжини ходів.

(ІІ.9.3)

5. Після визначення X_м та Y_M вузлової точки мережа розділяється на три незалежні ходи, які врівноважуються окремо строгим або спрощеним методом.

11.9.2. Зрівноваження полігонометричної мережі способом послідовних наближень

Рис. 11.9.2. Полігонометрична мережа з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки

Розглянемо такий спосіб на конкретному прикладі. Припустимо, ми маємо мережу з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки М та N (див. рис. ІІ.9.2). Необхідно знайти ймовірні координати точок М та N способом послідовних наближень. Для стислості будемо виконувати визначення тільки Х_м та X_N. Ординати Y_M та Y_N знаходять аналогічно. Припустимо, що Х_м та X_N вже знайдені. Тоді для кожного ходу можна скласти рівняння похибок. Цим рівнянням припишемо ваги як величини, обернені до довжини ходів.

311

Розділ II

X_M-(x_A-[AX\) = V_x X_M-(X_B+[AX]₂) = V₂ X_M-(X_N-[AX\) = V₃} X_N-(X_C-[AX]₄) = V₄

X_N-(X_D+[AX]₅) = V₅

Як відомо, коли ці рівняння розв'язувати за додаткової умови [PFF] = min, то це приведе до нормальних рівнянь, які у скороченому вигляді при двох невідомих (Х_м та X_N) запишуться так:

(11.9.5)

У (ІІ.9.5) щ - коефіцієнти при першому невідомому (при Х_м); у рів­няннях похибок (ІІ.9.4), тобто a_t = 1; своєю чергою, b_t- коефіцієнт при другому невідомому (приХд,); у цих самих рівняннях похибок (П.9.4) b_t= 1. Відомі частини рівнянь похибок, взяті в круглі дужки, позначені /,. Наприклад,

- ваги ходів.

Підставимо в перше нормальне рівняння системи (ІІ.9.5) значення a_t та /, і запишемо це рівняння в розгорнутому вигляді. Отримаємо:

(П.9.6)

Розв'яжемо (ІІ.9.6) відносно невідомого Х_м . Матимемо:

(ІІ.9.7)

(Х_А-[ЬХ\)-Р_х+(Х_В+[ЬХ]₂\Р₂+{Х_М-[АХ\)-Р_г

Аналізуючи (П.9.7), зауважимо, що Х_м знаходять як середнє вагове з

трьох ходів, які збігаються в одну вузлову точку. Аналогічне рівняння ми вже отримали раніше під час зрівноваження мережі з однією вузловою точкою (рівняння ІІ.9.3). Тому для знаходження ймовірної абсциси точки N-X_N запишемо аналогічно:

(х_с-[АХ]₄)-Р₄+(х₀+[АХ]₅)Р₅+(х_м+[АХ]_г)Р_і

(П.9.8)

312

Планові геодезичні мережі

Розглядаючи (II.9.7) та (ІІ.9.8), бачимо, що в цих рівняннях невідомі (тобто Х_м та X_N) є в лівій та у правій частинах. Тому їхнє безпосереднє розв'язання неможливе. Але ці рівняння можна розв'язати методом наближень (ітерації). Щоб знайти значення абсциси цієї точки з першого наближення Х_мх,

підставимо у (П.9.7) замість невідомого X_N наближену абсцису цієї точки, знайдену з ходу 4 (можна з ходу 5):

(П.9.9)

Тоді, розв'язавши (П.9.7), знайдемо Х_т - значення абсциси точки М з першого наближення.

Далі, у рівняння (ІІ.9.8) підставимо Х_М], знайдемо Х_т, тобто визначимо X_Nl з першого наближення. Маємо Х_т та Х_т з першого наближення. Переходимо до другого наближення. Для обчислення Х_М2 в (П.9.7) підставляємо значення X_Nl, а для обчислення X_N2 підставляємо в (11.9.8) Х_М2 ■ Достатньо 3-4 наближень. Коли , а , тобто коли

значення абсцис в останньому і -му наближенні такі самі, як і в попередньому (і -1) наближенні, ітерацію зупиняють.

Аналогічно знаходять кінцеві ординати цих точок Y_M та Y_N. Після цього

мережа розпадається на п'ять незалежних ходів, кожний з яких врівно­важується, як звичайно.

11.9.3. Зрівноваження полігонометричної мережі методом еквівалентної заміни

Розглянемо, як урівноважуються цим методом горизонтальні кути. При­рости координат врівноважуються аналогічно.

Нехай маємо мережу з п'яти ходів із двома вузловими точками, показану на рис. П.9.3. Дужками на рисунку показано горизонтальні кути.

На вузлових точках М та N вибрані напрямки (М - М') та (N - N'),

•~ • • (М) (N)

шукані дирекщині кути яких позначені oc^v ' та tf '.

В усіх ходах мережі виміряні ліві кути, якщо рухатися від вихідних тріангуляційних пунктів (показаних на рисунку трикутниками) у напрямку до вузлових точок М або N. Ваги ходів обчислені як величини, обернені до кількості кутів у ходах:

(П.9.10)

313

Розділ II

Рис. 11.9.3. До зрівноваження кутів мережі з п'яти полігонометричних ходів, що сходяться у дві вузлові точки

Суми виміряних кутів [(З]. також показані на рисунку. Замінимо ходи 1 та

2 еквівалентним ходом. За визначенням вага еквівалентного ходу дорівнює сумі

ваг ходів, які замінені еквівалентним ходом:

(П.9.11) Під час зрівноваження далі будемо дотримуватися такої послідовності: 1. Визначимо дирекційний кут лінії (М - М') з еквівалентного

ходу 1,2:

(П.9.12)

Р₁₊Р₂ У (ІІ.9.12), оскільки виміряні ліві кути (див. рисунок), то:

2. Знайдемо кількість кутів в еквівалентному ході 1,2. Відповідно до (П.9.10) маємо:

(П.9.13)

3. Знайдемо значення дирекційного кута лінії (N - N') з трьох ходів, тобто з першого, другого (точніше, з еквівалентного) та третього ходу:

«і,2 з = «і? + [Рз ] -180- (/і +1),. (П.9.14)

314

Планові геодезичні мережі

4. Визначимо кінцеве значення дирекційного кута лінії (N — N') з усіх ходів (з еквівалентного, третього, четвертого та п'ятого):

(П.9.15)

ДЄ

(ІІ.9.16)

5. Маючи кінцеве (найточніше) значення дирекційного кута а' ' лінії [N - N'), можемо надалі знайти кутові нев'язки та у ходах 4 та 5:

(ІІ.9.17)

(ІІ.9.18)

6. Підрахуємо сумарну кутову нев'язку, що припадає на еквівалентний та третій ходи:

(П.9.19)

7.Розділимо цю нев'язку і підрахуємо окремо нев'язки, що припадають на еквівалентний та третій ходи. Нев'язка припадає на кількість кутів

(w + l)j ₂ +(п■'+1)₃. Звідки неважко здогадатися, що:

(ІІ.9.20)

(П.9.21)

Формула (П.9.21) визначає нев'язку у третьому ході. Знаючи , кути

третього ходу, можна зрівноважувати, вводячи поправки у виміряні кути, як в окремому, незалежному ході. Формула (ІІ.9.20) визначає нев'язку еквівалент­ного ходу 1, 2.

8. Оскільки завжди кутову нев'язку можна знайти, як різницю між по­переднім (наближеним) значенням й остаточним (кінцевим) значенням дирекційного кута, то для еквівалентного ходу 1, 2 запишемо:

(ІІ.9.22)

315

Розділ II

9. Розв'язуючи рівняння (П.9.22) щодо невідомого сс , отримаємо формулу для обчислення кінцевого значення дирекційного куга лінії

(П.9.23)

Значення fa визначаємо за (ІІ.9.20), а значення а| ₂' - за формулою (ІІ.9.12). Праві члени формули (П.9.23) відомі. Отже, за (П.9.23) знайдемо

сс ' - кінцеве значення дирекційного кута лінії М - М .

10. Знайдемо, нарешті, нев'язки в початкових ходах 1 та 2:

(П.9.24)

(П.9.25)

У результаті виконання дій задана мережа розділена на п'ять незалежних ходів з відомими кутовими нев'язками, кожний з ходів врівноважується як незалежний.

11.9.4. Зрівноваження кутів полігонометричної мережі методом професора В.В. Попова

Як вже відзначалося, професор В.В. Попов удосконалив наближений метод зрівноваження порівнянням нев'язок суміжних полігонів. Зрозуміло, що такий метод (метод порівняння нев'язок) придатний як для зрівноваження висотних, нівелірних мереж, так і для зрівноваження теодолітних та полігонометричних мереж. Удосконалення В.В. Попова привели до створення ним строгих методів зрівноваження геодезичних мереж. Метод В.В. Попова дає змогу, насамперед, підрахувати кількість кутів у ходах межуючих полігонів. На рис. П.9.4 показана мережа з трьох полігонів. Хід A-D є суміжним з першим та третім полігонами. Виникає запитання: скільки у цьому ході кутів? В.В. Попов міркував приблизно так: кут створюється двома напрямками; але кожна лінія ходу також має два напрямки: прямий та зворотний. Кут при точці А в першому полігоні двома напрямками входить в полігон І і, одночасно, одним напрямком (напрямок AN ) в полігон III. Напрямок NA - другий напрямок цієї лінії. Отже, напрямки AN та NA також можна розглядати як кут. Тому у суміжних ходах стільки кутів, скільки ліній.

Справді, два напрямки AN та NA створюють один кут, а інші два напрямки -Ж>та DN - другий кут. Отже, в ході AD два суміжні кути, в ході BD (абоDB) один - суміжний кут. У ході CD (абоDC) два суміжні кути. Це,

316

Планові геодезичні мережі

здавалося б, просте міркування, дає змогу складати нормальні рівняння корелат безпосередньо на основі схеми мережі і виконати строге зрівноваження кутів.

Рис. 11.9.4. Зрівноваження кутів мережі полігонів полігонометріїметодом професора В. В. Попова

Позначимо корелати - поправки в один кут першого полігона/Tj, в один кут другого полігона К₂, третього полігона К^. Тоді можемо записати:

+1К_Х-К₂-2К₃ -30' = 0

(П.9.26)

-2К_Х -2К₂ + 6К₃+24" = 0\ Розв'язавши цю систему, знайдемо корелати К_х = (+4"), К₂ = (+2), К_г = (-2). Зовнішні ходи отримають поправки, відповідно, в першому полігоні (+4), у другому - (+2), у третьому - (-2). Кут А в полігоні І (два напрямки кута входять в полігон І, одночасно один із цих напрямків входить в полігон III) одержить поправку

Кут А у полігоні III: Аналогічно, у точці В . Полігон І: Полігон II:

317

Розділ II

Так само у точці С , полігон II:

Полігон III:

Знайдемо поправки у кути в точці N.

На ланку AD :

На ланку DA :

Визначимо поправки у кути при точці М .

На ланку CD:

На ланку DC:

Залишається знайти поправки на три кути при точці D.

Кут у точці D у полігоні І:

Кут у точці D у полігоні II:

Кут у точці D у полігоні III:

Контроль правильності обчислення поправок: \V_t ] = -fa .

11.9.5. Зрівноваження приростів координат полігонометричних мереж методом професора В.В. Попова

Нехай маємо ту саму мережу з трьох полігонів. У прямокутних рамках подано нев'язки полігонів f_x та f_Y у метрах. У кружках подано довжини ходів

у кілометрах.

(х) їх) (х) Позначимо jSTj , Щ , Щ - поправки у прирости абсцис АХ на 1 км

(у)

ходу відповідно для першого, другого та третього полігонів. Аналогічно Щ ,

(Y) (Y)

(ІІ.9.27)

К\ , КІ — поправки у прирости ординат AY також на 1 км ходу. Складемо нормальні рівняння корелат для зрівноваження приростів АХ

318

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.9.5. Зрівноваження приростів координат мережі полігонів полігонометрії способом професора В. В. Попова

Нормальні рівняння корелат для зрівноваження приростів AY будуть відрізнятися тільки вільними членами та позначеннями корелат

AK.\^Y) - К^{/^] - 0, №% ⁾ + 0,22 = 0

(П.9.28)

Розв'язавши системи рівнянь (ІІ.9.27) та (П.9.28), знайдемо поправки

, КУ"^;, К^"' та КУ ', КУ ', КУ ' у прирости абсцис та ординат на 1 км

зовнішніх ходів мережі. Поправки у прирости координат на окремі ходи обчислюють у відомості (табл. П.9.1). У цій відомості подані буквені вирази для визначення поправок на окремі ланки (ходи), з яких складаються полігони.

У відомості позначено відповідно щ , п₂, щ - довжини зовнішніх ходів (ланок) АВ, ВС та СА у кілометрах; п_{х 3}, «₂1 > ^пгі ~ довжини суміжних ланок

AD, BD, CD в кілометрах. У стовпчики 2 і 3 вписують числові значення поправок у метрах.

Контроль правильності введення поправок у прирости координат виконується за сумами поправок в окремі ходи, що створюють полігони: суми цих поправок повинні дорівнювати відповідним нев'язкам та цих

полігонів, взятих з оберненими знаками.

319

Розділ II

Таблиця П.9 Л Відомість обчислення поправок у прирости координат на окремі ходи (ланки)

11.9.6. Оцінка точності полігонометричних ходів та мереж за результатами зрівноваження

Раніше, під час попереднього опрацювання результатів польових вимірю­вань, ми виконували оцінку точності лінійних та кутових вимірювань полігонометрії за нев'язками, тобто за результатами польових робіт. Проте достовірнішою є оцінка точності кутових та лінійних вимірювань за результа­тами зрівноваження на основі поправок у кути Va. та лінії V_s..

Для оцінки точності зрівноважених кутів та ліній скористаємося узагаль­неною формулою Бесселя. Для кутів:

(П.9.29)

Для ліній:

(П.9.30)

де л - кількість усіх ходів; к- кількість вузлових точок. Різниця (n — к) дає кількість надлишкових вимірювань у мережі. При цьому, як відомо, кути

320

Планові геодезичні мережі

вважаються рівноточними, а лінії - нерівноточними. Ваги ліній можна виз­начити за формулою

якщо похибки m_s відомі. В іншому разі для визначення ваг оцінюваних вели­чин необхідно кожну з них подавати у вигляді функції результатів вимірювання

Тоді вагу P_t знайдемо за відомою формулою

іЧІ-, (ІІ.9.31)

dd_t)P_d

Оцінку точності результатів вимірювань за результатами зрівноваження вважають надійнішою, тому що на таку оцінку впливають як випадкові, так і систематичні похибки вимірювань, тоді як на нев'язки, отримані за резуль­татами польових вимірювань, часто не впливають або менше впливають деякі систематичні похибки, характерні для усього масиву кутових та лінійних вимірювань.

321

РОЗДІЛ III. ПРОСТОРОВІ СУПУТНИКОВІ МЕРЕЖІ (ОСНОВИ СУПУТНИКОВОЇ ГЕОДЕЗІЇ)