Коефіцієнти умовних рівнянь

Розглянемо, як змінюються нормальні рівняння корелат, якщо замість коефіцієнтів а_;, b_t, с_і підставити їхні фактичні значення:

294

Планові геодезичні мережі

Сума

Ф 0. Тому в (І) системи к_х = 0.

Отже, нормальні рівняння набудуть скороченого вигляду:

(II. 8.40)

Отже, завдяки тому, що [г)_;] = 0 та [£_;-] = 0, у системі (ІІ.8.40) залишається тільки два рівняння, які необхідно розв'язувати одночасно.

— = С, тоді рівняння II та III системи

Позначимо

(П.8.41)

(II.8.40) набудуть вигляду:

(II. 8.42)

(ІІ.8.43)

Загальна формула переходу від корелат до шуканих поправок при трьох

умовних рівняннях має вигляд:

Розв'яжемо ці два рівняння:

(П.8.44)

(П.8.45) (ІІ.8.46) (П.8.47)

^Vi=-^{^ai^k\^+bi^k2^+Ci^k3)-і

Враховуючи, що к_х = 0, матимемо:

Поправки в кути визначаються за формулою

295

Відповідно поправки в лінії знайдемо, аналогічно:

Розділ II

Оскільки Рс = —, то — = S;, то ' S, P_S{ ^м

(II. 8.48)

Виправивши виміряні кути вторинними поправками V, та лінії поправ­ками 0)_г, задовольнимо усі геометричні умови, що виникають у полігоно-метричному ході, і знайдемо ймовірніші координати пунктів ходу.

//.8.6. Строге зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу

корелатним методом

Нехай маємо витягнутий полігонометричний хід, координати точок якого обчислені за виміряними кутами та лініями і, в результаті, кінцева точка ходу В' не збігатиметься з фактичною кінцевою точкою ходу В, координати якої відомі. Тоді відрізок В'В = f_s - це лінійна нев'язка ходу (рис. П.8.4).

Повернемо координатну вісь X системи координат і спрямуємо її вздовж замикаючої ходу. Новий напрямок осі абсцис позначимо X', а вісь ординат Y'. Спроектуємо точку В на вісь X'. Як видно з рисунка, після повороту координатної системи нев'язка f_x дорівнюватиме поздовжньому зсуву t, a нев'язка f - поперечному зсуву и . Враховуючи це, запишемо скорочені нор­мальні рівняння:

(П.8.49)

Оскільки дирекційний кут замикаючої а = 0° (cosос = 1; sinoc= 0; x\_t = 0), то рівняння (II.8.37) набудуть вигляду:

(II. 8.50)

296

Складемо на підставі (И.8.50) таблицю коефіцієнтів нормальних рівнянь.

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.8.4. До зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу

Таблиця II. 8.2

Коефіцієнти нормальних рівнянь для витягнутого полігонометричного ходу

Надамо нормальним рівнянням відповідного вигляду, враховуючи значен­ ня коефіцієнтів табл. ІІ.8.2 і те, що = S_t, a[S_t ] = L :

(ІІ.8.51)

Розв'яжемо систему (ІІ.8.51) відносно невідомих корелат:

297

Розділ II

(И.8.52) (ІІ.8.53)

Залишається знайти шукані поправки в кути v_; та в лінії со_;. Скорис­таємося уже відомою формулою (II.8.45):

Значення коефіцієнтів 6, і с, візьмемо з табл. II.8.2. Отримаємо: • для ліній:

t

(II. 8.54)

для кутів:

(ІІ.8.55)

Виправивши лінії та кути відповідними поправками, знайдемо ймовірніші координати пунктів ходу. Приклад зрівноваження витягнутого полігономет-ричного ходу буде подано в п. П.8.8.

//. 8.7. Строге зрівноваження витягнутого рівностороннього полігонометричного ходу

Поправки в лінії обчислюють за простою формулою:

(ІІ.8.56)

Оскільки ——с - стала величина для цього ходу, а лінії рівні, то поправки

Li

в лінії будуть однаковими:

(П.8.57)

Проте для обчислення поправок v₍- в кути необхідно знати абсциси точок

ходу відносно центра ваги ходу £_; та суму їхніх квадратів Јj .

Розглянемо, як зміниться формула (II.8.55) для рівностороннього ходу. Візьмемо для простоти хід із парною кількістю сторін п. Це буде справедливим

298

Планові геодезичні мережі

і для непарної кількості сторін. Спрямуємо вісь X уздовж ходу і за початок координат приймемо першу точку (рис. П.8.5).

Тоді: X_l = 0; X₂=S; Х₃ = 2 S. Отже, для будь-якої точки і маємо:

(ІІ.8.58)

(П.8.59) (П.8.60)

Центральну абсцису знайдемо за формулою

Визначимо абсцису точок ходу відносно центра ваги: або:

(П.8.61)

Розглянемо далі, як зміниться CM - Спочатку

знайдемо на основі (И.8.61) значення усіх C,_t. Маємо:

(П.8.62)

Такими самими за абсолютним значенням бу­дуть абсциси для другої половини точок ходу, тільки

Рис. 11.8.5. До зрівноваження

витягнутого

рівностороннього ходу

полігонометрії

. (П.8.63)

зі знаком "плюс". Тому £,- можна подати так:

299

Розділ II

У квадратних дужках сума квадратів натурального ряду чисел від — до 1.

Як відомо, для такого ряду з п чисел справедлива формула

(II. 8.64)

п Для і—— маємо (помноживши і поділивши на 2 п):

Після перетворень

Отже,

(ІІ.8.65) (ІІ.8.66)

Враховуючи, що S ■ п - L, а також позначивши:

(П.8.67)

отримаємо для поправок у кути просту формулу

(П.8.68)

Зауважимо, що b_t є функцією тільки кількості сторін ходу п та номера сторони ходуг. Професором А.С. Чеботарьовим складено таблиці b_t =/(«,/). Під час обчислення поправок у кути значення Z>, вибирають з цих таблиць.

Отже, зрівноваження витягнутого рівностороннього ходу (майже рівно-стороннього) значно спрощується.

11.8.8. Приклад зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу корелатним методом (способом найменших квадратів)

Для кращого розуміння зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу, описаного у п. ІІ.8.6, наведемо приклад такого зрівноваження. Вико­ристовується відомість обчислення координат, в останньому стовпчику якої подано робочі формули та виконано допоміжні обчислення.

300

Планові геодезичні мережі

У вертикальній графі 1 виписані номери відомих та тільки що закладених пунктів, координати яких треба визначити.

У графі 2 записані виміряні кути, зокрема і прилеглі. Нев'язка в ході виявилась такою, що дорівнює , за допустимої. Ця нев'язка

майже порівну розподілена у виміряні кути з оберненим знаком. Поправки величиною 2", або 3" записані зверху над виміряними кутами. Внизу, під виміряними кутами, записані вторинні поправки, поки що невідомі. Щоб позбутися двох поправок на кожний кут, можна у графу 2 записати кути, уже виправлені первинними поправками, або доповнити відомість ще одною вертикальною графою.

Далі переходимо до обчислення дирекційних кутів, використовуючи кути, виправлені первинними поправками. Дирекційні кути записуємо у графу 3. Початковий дирекційний кут а_п = 101°38'46" і кінцевий а_к = 329°36'29", як задані, уже повинні бути записані у відомість (у графу 3). Так само в графах 10 та 11 повинні бути записані координати початкової (№ 38) та кінцевої (№ 40) точок:

Контролем правильності обчислень дирекційних кутів є формула

Тобто, послідовно обчислюючи дирекційні кути усіх ліній, використо­вуючи спочатку а„ - початковий дирекційний кут сх₃7-28 ⁼ Ю1°38'46" (наприклад, і, дійшовши до

кінцевого дирекційного кута , ми повинні отримати

точно кінцевий дирекційний кут ос_к, тому що кутова нев'язка вже врахована.

У графу 4 записують виміряні лінії. Графу 5 поки що пропускаємо. А далі виконуються обчислення наближених приростів координат за виміряними лініями S та дирекційними кутами, що подані у графі 3.

Обчислені значення Дх та Лу записують у графах 6 та 7. Розраховуються

нев'язки f_x та / і записують їх унизу відомості. Використовують, зазвичай, формули

Далі графи 8 і 9 та 10 і 11 поки що не заповнюються.

301

Розділ II

Заповнюють далі графу 12, в якій обчислюються наближені абсциси X'. Абсциса X' початкової точки Х^₈ = 0. Абсциса наступної точки Х'_9% дорівнює довжині лінії S₃₈_98 ⁼ 423,678 м, округленій до цілих метрів: +424. Для точки № 99 і так далі. Для кінцевої точки № 40

Х'₄₀ = +2060. Далі знаходять абсцису центра ваги ходу Х_ц :

У графі 13 обчислюють абсциси точок ходу відносно центра ваги:

У графі 14 обчислюють квадрати цих абсцис та їхню суму

Далі у допоміжній графі 15 обчислюють:

1. Поздовжній і поперечний зсуви t і и. Необхідні формули виписані у цій графі.

2. Поправки в лінії. Робоча формула: (є визнача­ється з точністю до сьомого знака після коми). Поправки у лінії у міліметрах записані у графі 4 над виміряними лініями.

Для отримання зрівноважених довжин S поправки алгебраїчно

додаються до виміряних ліній. Зрівноважені лінії подано у графі 5.

3. Поправки в кути. Робоча формула: , де(й* = р"

[У] ■

Значення со" також обчислюється з точністю до сьомого знака після коми. Поправки V* записані під виміряними кутами у графі 2. Контроль поправок у кути: [v*] = 0. Кути округляються до 1".

4. Поправки в дирекційні кути . Ці поправки записані над

приблизними дирекційними кутами у графі 3.

Щоб знайти зрівноважені дирекційні кути, ці поправки алгебраїчно додають до наближених значень дирекційних кутів. Зрівноважені дирекційні кути у відомості не записані. За бажанням їх можна записати в графу 3 під наближеними дирекційними кутами, взявши їх у дужки. Обчислення закінчуються заповненням граф 8 і 9 та 10 і 11. У графах 8 і 9 записуються ув'язані прирости координат, обчислені за зрівноваженими дирекційними кутами та довжинами ліній S¹.

302

Планові геодезичні мережі

Головним контролем правильності виконаного зрівноваження є рівності

Інакше кажучи, оскільки прирости координат зрівноважені, то їхні суми повинні дорівнювати різницям координат кінцевої та початкової заданих точок (не повинно бути нев'язок).

У графах 10 і 11 обчислюють кінцеві (точні) координати пунктів

Оцінка точності кутів та ліній за результатами зрівноважень може бути виконана на основі знайдених поправок.

Таблиця II.8.S

Обчислення координат витягнутого полігонометричного ходу