11.3.9. Джерела похибок вимірювання горизонтальних кутів

Як відомо, похибки кутових вимірювань викликають поперечні зсуви в полігонометричних ходах. Ці зсуви ми позначали літерою и. Джерелами похибок вимірювання горизонтальних кутів є:

1. Редукція візирної цілі (и ) - неточне встановлення візирної марки

над геодезичним пунктом.

2. Центрування теодоліта ( и_ц ) - неточне встановлення центра лімба над

вершиною кута, що вимірюється.

3. Інструментальні похибки (и,), тобто похибки викликані недоліками приладу, з якими виконують вимірювання кута.

4. Зовнішнє середовище (и₃). До них належать похибки, викликані неоднорідністю за густиною атмосфери, в якій проходить промінь світла від

191

Розділ II

візирної цілі до приладу, неабсолютна прозорість атмосфери, коливання зображення візирної цілі, викликана турбулентністю атмосфери (рухомість її елементарних частинок та вихорів).

5. Вимірювання кута (и_вк), тобто вплив дій, які виникають під час ви­мірювання кута, а саме: похибки наведення труби на візирну ціль (марку) та похибки відліків кругів.

6. Вихідні дані (и_вих). Під час математичного опрацювання кутових вимірів використовуються відомі, наперед задані величини. Це координати пунктів та дирекційні кути напрямків.

Як координати, так і обчислені за ними дирекційні кути містять певні похибки. Це викликає додаткові величини нев'язок у кутомірних ходах, що прокладені між цими відомими дирекційними кутами. Виникнення цих додаткових нев'язок необхідно передбачати і вимірювати кути з деяким запасом точності. Зрозуміло, що ці додаткові похибки пов'язані не з цими вимірюваннями, а з вимірюваннями, які виконувалися під час створення геодезичної мережі вищого класу. Вважаючи, що всі ці похибки виражені поки що в лінійній мірі і є випадковими, можна записати:

(ІІ.З.ЗЗ)

Приймаючи, що всі ці похибки за величинами однаково впливають на кутові виміри, матимемо:

Запишемо:

(П.3.34)

Як відомо, допустима відносна похибка поперечного зсуву ходу зав­довжки L виражається формулою

и 1

L Т-у/ї' (для полігонометрії 4 класу Т = 25000).

Враховуючи (П.3.34), (ІІ.3.35) можемо записати так:

тил/б 1

(П.3.35)

(П.3.36)

Відносну допустиму похибку на окреме джерело похибок одержимо, розділивши (П.3.36) на , тобто:

192

Планові геодезичні мережі

аоо

(П.3.37)

Для ходу з параметрами отримаємо

за формулою (П.3.37):

Отже, окреме джерело похибок повинно викликати похибку в положенні кінцевої точки такого ходу не більше за 12 см. У кутовій мірі da" це становитиме:

0,12м da" ,_ 0,12-206265 _ „, ,

10000 м р* 10000

Ці прості розрахунки вже вказують на те, що похибка в положенні кінцевої точки ходу, викликана окремим джерелом похибок, не повинна перевищувати 2,5".

11.3.10. Розрахунок допуску сумарної випадкової похибки вимірювання окремого горизонтального кута

Для ходу з попередньо ув'язаними кутами у п. II. 1.12 ми отримали формулу

(П.3.38)

Розв'яжемо цю формулу відносно та :

_{*''t& (,Ш9)}

Враховуючи формулу (ІІ.3.35), матимемо:

■*-pv4rJ-T?- ^(IL3-⁴⁰⁾

Оптимальні довжини ліній в полігонометрії 4 класу S = 500 м; для L = = 10000 м, кількість сторін ходу п = 20. За (ІІ.3.40) матимемо:

Теоретичні розрахунки дають допустиму сумарну похибку кута - 4,2". Часто, особливо в міських умовах, лінії полігонометрії менші за 500 м. Як

193

Розділ II

видно з (П.3.1.38), навіть для однакової довжини ходу у разі збільшення кількості сторін поперечний зсув и зростає, і та буде змінюватися. Інструкція

[5] допускає щ = 5". Для однакового впливу кожного з шести джерел випад­кових похибок на результати вимірювання окремого кута можна записати фор­мулу для розрахунку допустимої величини похибки на окреме джерело т" _дж .

(П.3.41)

_окр._дж. ^ ^ Це гранична похибка. Середня квадратична похибка буде дорівнювати 1,2".

11.3.11. Розрахунок допустимої систематичної похибки вимірювання

окремого кута

Нехай у витягнутому, рівносторонньому ході, показаному на рис. II.3.21, п сторін. Для такого ходу з однаковими систематичними похибками щ _сист поперечний зсув и знайдемо на основі рисунка за формулою

або

Рис. 11.3.21. Дія на витягнутий, рівносторонній полігонометричний хід однакової систематичної похибки Щ_сист вимірювання кутів

У квадратних дужках формули (II.3.43) маємо суму натурального ряду чисел від п до 1. Як відомо, сума такого ряду чисел дорівнює

и(и + і)

(И.3.44)

194

Планові геодезичні мережі

Тому (П.3.43) надамо вигляду:

(П.3.45)

Оскільки , то, враховуючи це, розв'яжемо рівняння

(П.3.45) відносно Отр₍

р' L (и + 1) Т-4Ї (л + 1)'

або

1 V2

гран ™р с»_Ст = Р*Г • —Г • (П.3.46)

Г и + 1

Для п =20 матимемо:

Як бачимо, систематичні похибки майже на порядок небезпечніші, ніж випадкові. Допуск на сумарний вплив випадкових похибок на один кут становить 5". Відповідний допуск на сумарну систематичну похибку - 0,6", тобто, у вісім разів менший. Допуск на сумарну систематичну похибку майже в чотири рази менший навіть від допуску на одне джерело випадкових похибок. Знешкоджувати такі малі систематичні похибки - доволі складне завдання.