11.2.4. Розрахунок допусків на окреме джерело похибок лінійних вимірів

Сумарну похибку М в місцеположенні кінцевої точки ходу вираховують за формулою

Продовжуючи принцип рівних впливів, приймемо: t = u , тоді:

Перейдемо до відносної похибки:

М 1 _е t4l u4l 1

Отже,

(11.2.3)

Враховуючи (П.2.2), запишемо:

або

L J-4-V2 L Т-4-УІ2

Беручи до уваги, що , отримаємо:

(П.2.4)

Отже, допуск на окреме відкладання мірного приладу завдовжки /, становитиме:

—^L = —,—- = —; або А, =о, = —. / вТ І 67 6Т

142

Планові геодезичні мережі

Для одного відкладання мірного дроту допустимі похибки однакові:

Д/ = °/-

Для полігонометрії 4 класу Т = 25000, при / = 24000 мм

А/ = aj = ±0,16 мм.

Для ходу, що має п ліній, а в кожній лінії к відкладень, запишемо:

для випадкових похибок для систематичних похибок -

Отже, граничні випадкова та систематична похибки ходу становитимуть: гран гран

Максимальна допустима довжина ходу полігонометрії 4 класу - 14 км, для S = 500 м, п= 28, к = 20, / = 24 м. Для Т = 25000 матимемо:

Отже (для граничного ходу), допуск на окреме джерело систематичних похибок майже в 24 рази менший, ніж на джерело випадкових похибок. Це вказує на значну загрозу систематичних похибок.

Далі розглянемо, які похибки можуть викликати окремі джерела під час виконання вимірювання, та чи можливо виконувати вимірювання так, щоб окремі джерела похибок не перевищували допуск 0,16 мм для / = 24 м та 0,32 мм для / = 48 м.

Похибка компарування мірного приладу

Як уже відзначалося, компарування підвісних мірних приладів виконують для встановлення дійсної довжини приладу (мірного дроту) /₀ . Компарування виконують на стаціонарних або польових компараторах.

Стаціонарні компаратори створюють у закритих (як правило, підвальних) приміщеннях, де майже не змінюється температура. Базовою мірою компа­рування є триметровий еталон довжини. Якщо відкласти 8 довжин еталону, то створимо базис завдовжки приблизно 24 м (саме тому довжина дротів ~ 24 м). Довжина цього базису відома з точністю до 1 мікрона (0,001 мм) 1_Б = 24 м + АІ_Б мм. Далі цей базис вимірюють дротом (дріт натягують гирями).

Спочатку вважають, що довжина дроту /₀ = 24 м.

143

Розділ II

Нехай для такого допуску отримали: 1_Б = 24м + А/₀ мм. Якщо справді А.І_Б = А/₀, тоді дріт має насправді 24 м. Якщо А/₀ > АІ_Б (результат вимірювання більший), то дріт коротший на 5 = А/₀ - А/_я. Під час компарування обов'язково необхідно виміряти температуру приладу (вважається t дроту ⁼ t _повітр_Я). Наприклад, t _повітря = 15 °С. Тоді для останнього рівняння приладу запишеться так: /₀ = 24 м - 5 мм .

На стаціонарних компараторах зазвичай компарують інварні дроти. Маючи прокомпаровані інварні дроти, створюють польові компаратори, на яких компарують сталеві дроти. Під час створення польових компараторів закладають у грунт на рівній місцевості два фундаментальні центри на віддалі ~ 240 м (10 відрізків по 24 м, або 5 по 48 м). Через деякий час, коли ґрунт осяде, горизонтальну віддаль між центрами вимірюють (як описано вище) інварними, прокомпарованими дротами 6-8 разів (якщо один дріт, роблять три прямі і три зворотні ходи, якщо два дроти - кожним дротом два прямі, два зворотні).

У результаті знаходять довжину компаратора

де AL_k відома з точністю 0,1-0,15 мм.

Вважають, що довжина польового компаратора не залежить від темпе­ратури земної поверхні. Далі цю довжину вимірюють некомпарованими дротами (не менше ніж чотири рази). Так само, як на стаціонарних компараторах, спочатку вважають, що /₀ = 24 м і знаходять деяку довжину компаратора L, для середньої температури t . Якщо L> L_k , дріт коротший, якщо L<L_k - довший. Так знаходять знак поправки.

Величина поправки

Рівняння дроту: /₀ = 24 м ± 8 мм для t =15 °С.

Розрахуємо, з якою точністю необхідно компарувати дроти. Скорис­таємося формулою

Отримаємо: 0/= 0,16 мм (для / = 24 м), ст,= 0,32 мм (для / = 48 м). Компарування з такою точністю не викликає особливих проблем.

144

Планові геодезичні мережі

Похибка укладання мірного приладу в створ лінії Безпосередньо з рис. П.2.3 можемо записати формулу для похибки нестворності А/:

Рис. 11.2.3. Вплив неточного укладання мірного приладу І у створ (нестворність кінців приладу- Е) на вимірювання лінії

Після деяких перетворень матимемо:

(11.2.5)

Знайдемо допустиме значення є :

(11.2.6)

А/ _ 2е² _ 1 / " І² ~6Т

звідси:

12Г

~ 44 мм ~ 4 см .

(ІІ.2.7)

є = 24000,,

12•25000

З такою похибкою встановити у створ цілики можливо, але потрібно

виконувати візування не окомірно, а зоровою трубою теодоліта.

Похибка за нахил мірного приладу

Рис. 11.2.4. Вплив нахилу h мірного приладу завдовжки І на вимірювання лінії

З рис. ІІ.2.4 маємо:

(ІІ.2.8)

145

Розділ II

Після перетворення отримаємо:

Д/„= —. (11.2.9)

Визначимо, які малі перевищення h можна не враховувати під час вимірювання ліній:

А//, _ 1 _ h² , . П

А= 8,8 см для / =24 м, h= 17,5 см для / =48м.

Проте точність визначення h повинна зростати під час збільшення/?,

оскільки відповідно до (ІІ.2.9) А/_Л пропорційна до А².

Диференціюючи (П.2.9) за h та переходячи до відносної похибки і

1 прирівнюючи н до —, матимемо:

(ІІ.2.10)

Для / = 24 м, h = 2 м, гран dh = 1,92 ~ 2 мм.

Інструкція допускає 2 мм для h від 1 до 3 м.

Похибки від неточного визначення температури мірного приладу

Під час зміни температури мірного приладу змінюється його довжина, тому можна записати:

(П.2.11)

де а - коефіцієнт лінійного розширення сталі або інвару; / - довжина приладу; t- температура під час вимірювання ліній; ґ₀- температура під час

компарування приладу.

Диференціюючи (ІІ.2.11) за t, матимемо:

(ІІ.2.12)

Розв'язавши (П.2.12) відносно dt і перейшовши до допустимої відносної похибки, отримаємо:

(П.2.13)

Для сталі ос_с = 0,0000124, для інвару

Отже, для сталі, dt= 0,54 ~ 0,5 °С.

Вимірювати з такою точністю температуру повітря нескладно. Проте температура дроту може значно відрізнятися від температури повітря (на 10 °С і більше), тому із цією похибкою боротися важко. Найкращий спосіб - заміна

146

Планові геодезичні мережі

сталевих дротів інварними, для яких а_ін приблизно в 40 разів менше ніж у сталі. Не можна допускати, щоб дроти під час вимірювання торкалися нагрітої земної поверхні.

Похибки від зміни натягування мірного приладу Відповідно до закону Гука зміна довжини приладу від зміни натягування dP описується формулою

(ІІ.2.14)

У (11.2.14)2?- модуль еластичності, для сталі Е = 20000 кг/мм²; F - площа поперечного перетину дроту, F ~ 2 мм². Перейдемо до допустимої відносної похибки

(ІІ.2.15)

/ EF 6T Розв'язавши (ІІ.2.15) відносно dP, отримаємо:

(П.2.16)

Отже, вага гирі може відрізнятися від номінальної ваги на % кг.

Похибки, викликані впливом вітру

Вітер має поривчастий характер, тому вплив вітру різний у різні миті часу. Проте доведено, що боковий вітер зі швидкістю 7,6 м/с може викликати додаткову вагу дроту dP = 270 грам. Отже, під час вітру зі швидкістю більше ніж 7 м/с вимірювання дротами не можна виконувати.

Похибки вимірювання, вихідних даних та інші

Найменша поділка шкал дротів - 1 мм. Відлік шкал виконують із точністю до 0,1 мм. Проте розділити на 10 частин міліметр із такою точністю важко. Будемо вважати, що похибки відліків дорівнюють 0,2 мм. Тоді похибка відрізка

А/ становитиме А/ = 0,2 мм ■

4г. Оскільки під час вимірювання беруть три

пари відліків, тоді середня похибка А/ = ' р— = 0,16 мм .

0,2-У2

Допуск випадкової похибки на окремий відрізок також становить 0,16 мм. Отже, три пари відліків - обґрунтовані.

Особливо необхідно звертати увагу на похибки центрування ціликів оптичними висками над кінцями лінії, що вимірюють, та на стійке встановлення створних штативів. Загрозливими можуть бути похибки вихідних даних.

147

Розділ II