1.4.2. Зрівноваження нівелірної мережі з однією вузловою точкою

Нехай маємо мережу із трьох ходів, що сходяться в одну вузлову точку (рис. 1.4.2). На рисунку подані виміряні перевищення A,, h±, h₃ та довжини

ходів Јj, L₂ , Zg, а також висоти реперів А, В, С - Н_А, Н_в, Н_с . Стрілками показані напрямки збільшення висот, тобто, напрямки додатних перевищень.

Рис. 1.4.2. Нівелірна мережа із трьох ходів, що сходяться в одну вузлову точку

Визначимо ваги ходів, як величини, обернені до довжин ходів. Ваги також подано на рисунку. Маємо можливість визначити три значення висоти точки Е : з першого, другого та третього ходів:

Знайдемо середнє вагове значення висоти точки Е :

(1.4.9)

Далі, знаючи зрівноважену висоту вузлової точки Н_Е , знайдемо нев'язки кожного з ходів: /V , f_h , /L за формулами

Подальше зрівноваження кожного із цих ходів можна виконати описаним вище методом. Залишається оцінити точність нівелювання за результатами

88

Висотні геодезичні мережі

зрівноваження. Знайдемо середню квадратичну похибку одиниці ваги - [і для випадку, коли у одну вузлову точку сходяться п - ходів. Тоді, як відомо,

(1.4.10)

де (и-1)- кількість надлишкових ходів; P_t- ваги ходів; V_t— поправки ходу, отримані зі зрівноваження.

Щоб знайти висоту точки Е , достатньо прокласти один хід.

Якщо , то (Д. - похибка ходу, завдовжки у 1 км; якщо ж , де

С - довжина деякого ходу, км, то ; у цих двох випадках похибка

нівелювання на одній станції \і_с

_ ; якщо ж Р = —, то ц - похибка

л/10 Щ

(J. - похибка ходу, що має С станцій; \і_ст = -j=. В останньому випадку по-

нівелювання на одній станції. Тоді, (j.^ =[і_сту/\0. Нарешті, якщо P_t =—, то

хибка ходу, завдовжки в 1 км становитиме: ц^ = —== VI0 .

Похибку визначення висоти вузлової точки Е знаходять за формулою

(1.4.11)

1.4.3. Зрівноваження перевищень нівелірних мереж методом еквівалентної заміни

Візьмемо нівелірну мережу, показану на рис. 1.4.3. Мережа має чотири вузлові точки А, В, С ,D. Висоти цих точок невідомі. Між вузловими точками прокладено шість ходів. У ходах виміряні перевищення h_x, fy, ...,h₆. Відома кількість станцій ходів щ, п₂, —,п₆. Це дає змогу обчислити ваги усіх ходів,

тобто міру їхньої надійності

Введемо поняття еквівалентного нівелірного ходу. Еквівалентним ходом називають такий уявний хід, вага якого дорівнює сумі ваг наявних ходів, які замінені еквівалентним.

89

Розділ І

Розглянемо послідовність зрівноваження перевищень, із використанням еквівалентних замін дійсних, існуючих ходів.

hi

Рис. 1.4.3. Зрівноваження перевищень нівелірної мережі методом еквівалентної заміни

1. Замінимо ходи 1 і 2 еквівалентними ходами є,₂ та ходи 5 і 6 еквівалентним ходом є₅₆.

2. Обчислимо ваги еквівалентних ходів:

(1.4.12)

3. Знайдемо кількість станцій еквівалентних (уявних) ходів. Оскільки , то

Оскільки ми знаємо ваги еквівалентних ходів, то можемо знайти кількість станцій у цих ходах:

(1.4.13)

(1.4.14) (1.4.15)

1

4. Визначимо перевищення еквівалентних ходів як середні вагові:

_h_xP_l +^P₂

Р\+Рг ^;

90

Висотні геодезичні мережі

Після заміни ходів 1, 2 - еквівалентними ходами є₁₂, та ходів 5, 6 -еквівалентним ходом є₅₆, мережа перетворилася на зімкнений хід - полігон.

5. Знайдемо нев'язку полігона f_h та кількість станцій полігона -я:

(1.4.16) (1.4.17)

6. Визначимо нев'язки чотирьох ходів, що залишилися після заміни: еквівалентних є₁₂, Є56 ^та існуючих -3,4:

(1.4.18)

7. Знаючи нев'язки ходів 3 і 4, знайдемо їхні зрівноважені перевищення як поодинокі ходи:

(1.4.19)

h_{4 зв} - h₄ /_Л4 j

8. Аналогічно знайдемо зрівноважені перевищення еквівалентних ходів:

(1.4.20)

(1.4.21) (1.4.22)

9. Визначимо нев'язки ходів 1 і 2 та 5 і 6:

10. На рисунку не показано, але в кожному із шести ходів є репери. Тепер, коли ця мережа розділилась на шість незалежних ходів і відомі нев'язки цих ходів, то надалі урівноважують перевищення між цими реперами, пропорційно до ваг частин ходів між суміжними реперами. Ці ваги обернено пропорційні до кількості станцій у секціях. Зрівноваження закінчують оцінкою точності результатів. Похибку одиниці ваги знаходять за формулою

(1.4.23)

де п - кількість всіх ходів; к - кількість вузлових точок.

91

Розділ І

Різниця г = (п-к) дає кількість надлишкових ходів. У нас: г = 6-4 = 2. Мережа має два надлишкові ходи.